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Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan

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Objectif

Établir l'orthogonalité de deux droites.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.

En géométrie plane, « orthogonal » signifie « perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.

1. Droites orthogonales

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

Exemple :

On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH :

Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).

2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

a. Généralités

Une droite (d) et un plan P sont orthogonaux si la droite (d) est orthogonale à toute droite du plan P.

Propriété :

Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.

Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH, on a :

♦ (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré ;

♦ (BD) orthogonale à (AE) car les parallèles respectives (BD) et (BF) sont perpendiculaires.

Donc la droite (BD) est perpendiculaire au plan (AEC).

b. Propriétés

On admet les propriétés suivantes :

1. Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.

2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.

3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.

4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

L'essentiel

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.

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