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Ordre et opérations

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Objectifs

Manipuler des inégalités peut être utile pour la résolution d’inéquations (3^ème) ou tout simplement pour comparer 2 nombres.
Comment les opérations (+ ; - ; × et ÷) influent sur les inégalités ? Comment comparer deux nombres ?

1. Inégalités

Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥

Notations :
• < se lit « strictement inférieur » et > « strictement supérieur »
• ≤ se lit « inférieur ou égal » et ≥ « supérieur ou égal »

Exemple :

2. Ordre et opérations

On ne change pas le sens d’une inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique: soient a, b et c des nombres quelconques:

Si a < b alors a+c < b+c et a–c < b–c

Exemples :
• Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5
• Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6

On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.

En écriture mathématique : soient a, b et c des nombres quelconques avec c > 0

Si a < b alors a × c < b × c et

Exemples :
Si 4 <

alors 3 × 4 < 3

d’où 12 < 3

Si z ≥ 28 alors

≥

d’où

≥ 4

On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif.

En écriture mathématique : soient a, b et c des nombres quelconques avec c < 0

Si a < b alors a × c > b × c et

Exemples :
Si 4 <

alors -3 × 4 > -3

d’où -12 < -3

Si z ≥ 28 alors

≤

d’où

≤ -4

Remarque : Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.

3. Comparaison de deux nombres

Pour comparer deux nombres a et b, il suffit de regarder leur différence :
• Si a – b > 0 alors a > b
• Si a – b < 0 alors a < b

Exemple :
Soit

un nombre tel que

+ 4 > 0.

est-il forcément positif ?
Si

+ 4 > 0 alors

> - 4 (cela n'implique pas que

> 0)
Par exemple

= – 2 vérifie l’inégalité. Donc

n’est pas forcément positif.

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