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Ondes progressives périodiques / sinusoïdales

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Objectifs

• Définir une onde progressive mécanique périodique et ses caractéristiques (périodes temporelle et spatiale).
• Définir une onde progressive mécanique périodique particulière : l’onde sinusoïdale et ses caractéristiques (période, fréquence et longueur d’onde).

1. Ondes progressives périodiques

On appelle onde progressive le phénomène de propagation d’une perturbation, de proche en proche, sans transport de matière mais avec transport d’énergie. La perturbation consiste en une déformation (au sens large) de son milieu de propagation.

Exemple d’ondes : vagues, onde sonore, lumière, ...

La perturbation est produite initialement par une source, comme par exemple des baffles de haut parleur pour une onde sonore.

Quand la source impose une perturbation périodique, l’onde progressive ainsi générée est elle-même périodique. Cette onde est caractérisée par une double périodicité : temporelle et spatiale.

a. Période temporelle

Considérons la déformation du milieu provoquée par une onde périodique, au niveau de la source et en un point quelconque M de ce milieu, en fonction du temps.

À la source ou en un point donné, on constate que le mouvement observé est périodique. Il est caractérisé par une période T (exprimée en seconde).
Pour un point donné, la période correspond à la plus petite durée non nulle entre deux états vibratoires identiques. Autrement dit, sur le graphe, la période T est par exemple le temps entre deux maximums consécutifs.
La valeur de T n'est pas modifiée lors de la propagation de l'onde. La valeur de cette période caractérise la source.

Au niveau du point M, on constate que le mouvement ne s'instaure pas immédiatement, mais au bout d'un temps τ que l'on appellera le retard. Ainsi, τ est le temps nécessaire pour que l'onde atteigne le point M. Par extension, τ est le temps requis pour que l'état vibratoire produit par la source atteigne le point M (cf. fiche « Ondes progressives à une dimension »).

Si le point M est distant de la source d'une longueur d (en m), le retard (en s) est donné par la relation

, où c est la célérité de l'onde.

La célérité s'exprime en m.s^-1 et correspond à la vitesse à laquelle se déplace la perturbation et, par extension, l'onde. Par exemple, la célérité du son dans l'air à température ambiante est voisine 340 m.s^-1, la célérité de la lumière dans le vide est proche de 3.10⁸ m.s^-1.

L'onde est périodique dans le temps : y_M(t) = y_M(t + nT), avec n entier relatif. Cela veut dire que si un point M du milieu de propagation présente un état vibratoire à un instant t, il le retrouvera régulièrement : T puis 2T, 3T, ..., nT plus tard.

b. Fréquence

La fréquence de vibration ƒ d'une onde est égale à l'inverse de sa période temporelle T :

, où ƒ s'exprime en Hertz (Hz) et T en secondes.

La fréquence représente le nombre d'oscillations (le nombre de périodes) par seconde.

Exemples : Quelques fréquences des ondes sonores :
• infrasons : ƒ < 20 Hz
• les sons audibles : 20 Hz < ƒ < 20 000 Hz
• les ultrasons : ƒ > 20 000 Hz

Quand une onde passe d'un milieu à un autre, sa célérité est susceptible de varier (exemple : phénomène de réfraction des ondes lumineuses). Par contre, sa fréquence, et par extension sa période, restent constante durant cette transition.

c. Période spatiale

On considère maintenant le milieu de propagation pour des instants différents donnés.
Autrement dit, c'est comme si on prenait l'onde en photo : on « fige le temps ».

On observe que l’onde possède une périodicité dans l’espace, caractérisée par sa période spatiale, que l'on nomme longueur d'onde, notée λ. Cette grandeur caractérise l'onde. Sa valeur s'exprime en mètres.
Sur un graphe, la longueur d'onde est la plus petite distance non nulle séparant deux points du milieu présentant le même état vibratoire. La longueur d'onde est ainsi par exemple la distance séparant deux maximums consécutifs sur ce graphe.
De manière générale, deux points M et M', séparés d'une distance égale à un multiple de λ ont le même état vibratoire à tout instant : y(x) = y(x + kλ), avec k entier relatif.
Pour une onde deux ou trois dimensions, le raisonnement reste valable, à condition que les deux points appartiennent à deux fronts d'onde différents.

La longueur d'onde λ (en m) est reliée à la célérité c et à la période T de l'onde par la relation .
La longueur d'onde λ est la distance parcourue par l'onde de célérité c en une période temporelle T.

Quand une onde passe d'un milieu à l'autre, nous avons vu que la fréquence et la période restent constantes, alors que la célérité de l'onde est susceptible de varier. En conséquence, d'après cette relation, la longueur d'onde est elle aussi modifiée.

Illustration animée : On dispose d'un chronomètre pour évaluer la célérité de l'onde. On peut définir la période (fréquence) et la longueur d'onde dans le cas d'une excitation sinusoïdale.

2. Cas particulier : les ondes progressives sinusoïdales

a. Définition

Une onde progressive est sinusoïdale si l'onde évolue en fonction du temps et de la distance comme une sinusoïde. Autrement dit, les fonctions y_M(x) et y_M(t) sont des sinusoïdes.

Une onde progressive sinusoïdale étant une onde progressive périodique, elle présente donc aussi une double périodicité : temporelle et spatiale. Ainsi, les notions de période et de longueur d’onde sont valables pour les ondes progressives sinusoïdales. D’ailleurs, dans la pratique, les ondes progressives sinusoïdales seront les ondes périodiques les plus utilisées en physique (ce que l’on pourra justifier dans la fiche « analyse spectrale »).

Les sons purs et les ondes lumineuses monochromatiques (une seule fréquence) sont des exemples d’ondes progressives sinusoïdales.

b. Expression d'une onde progressive sinusoïdale (non exigible)

Pour une onde progressive sinusoïdale se propageant selon l'axe x et correspondant à une perturbation s'exerçant selon l'axe y (onde transversale), l'expression de la déformation y s'écrit ainsi :

A est l'amplitude de l'onde (unité dépendant de l'onde étudiée), t est le temps (en s), T est la période (en s), x (en m) est la position selon l'axe de propagation de l'onde, λ est la longueur d'onde (en m).

Si l'on étudie l'onde en un point donné, alors on utilise

, où θ est une phase (en radians), correspondant à un décalage selon l'axe des temps.
Si l'on étudie l'onde pour un temps donné, on a

, où

(en radians) correspond à un décalage selon l'axe des x.

3. Front d'onde

Au sein d'un milieu de propagation homogène et isotrope (célérité de l'onde constante selon la position et la direction de propagation de l'onde), un front d'onde correspond à l'ensemble des points situés à une même distance de la source émettrice. Par voie de conséquence, des points situés sur le même front d'onde présentent le même état vibratoire.

• Pour un milieu de propagation bidimensionnel, le front d'onde est une ligne.
Par exemple, on peut citer les vagues à la surface de l'eau, que l'on étudie via une cuve à ondes dont le vibreur est relié à un générateur à fréquence variable.
– Si le vibreur est une lame (source étendue), on observe des rides rectilignes : les fronts d'ondes sont des droites. L'onde est dite rectiligne.

– Si le vibreur est une pointe (source ponctuelle), on observe des rides circulaires : les fronts d'onde sont des cercles. L'onde est dite circulaire.

• Pour un milieu tridimensionnel, le front d'onde est une surface. Pour une source ponctuelle, les fronts d'onde dont des sphères concentriques, centrées sur la source, dont les rayons augmentent avec le temps. On dit alors que l'on a une onde sphérique.

Exemples : ondes sonores évoluant dans un milieu de propagation homogène et isotrope.

L'essentiel

Une onde progressive est le phénomène de propagation d’une perturbation, de proche en proche, sans transport de matière, mais avec transport d’énergie. Pour une onde progressive périodique, la perturbation évolue de manière périodique.

Une onde progressive périodique présente une double périodicité :
• temporelle, dont la période est notée T et s'exprime en secondes. La fréquence (en Hz) de l'onde est

.
• spatiale, avec la longueur d'onde λ, qui s'exprime en mètres, et est reliée à la période T, à la célérité c et à la fréquence ƒ par la relation

.

Une onde progressive sinusoïdale est un cas particulier d'onde progressive périodique, qui évolue selon le temps et la distance comme une sinusoïde.

Un front d'onde désigne l'ensemble des points situés à une même distance de la source émettrice de l'onde. Les points situés sur un même front d'onde présentent le même état vibratoire.

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