Fiche de cours

Nombres premiers- Collège- Mathématiques

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Simplifier une fraction et la rendre irréductible.
Décomposer un nombre entier naturel en produits de facteurs premiers.

Points clés

On appelle nombre premier un entier naturel qui n’admet que 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit où chaque facteur est un nombre premier élevé à une puissance entière positive.

Nous allons définir un nombre premier à partir de la divisibilité des nombres, puis nous verrons que l’on peut décomposer tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 en produits de facteurs premiers.
On pourra utiliser cette propriété notamment pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.

1. Diviseurs, multiples, divisible par...

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

Les quatre phrases ci-dessous ont la même signiﬁcation :

a est un diviseur de b ;
b est divisible par a ;
le reste de la division euclidienne de b par a est égal à 0 ;
b est multiple de a.

Leur traduction en langage mathématique est :
II existe un entier naturel k tel que b = ka.

Exemples
• 11 est un diviseur de 132 ;
• 132 est divisible par 11 ;
• le reste dans la division euclidienne de 132 par 11 est égal à 0 ;
• 132 est multiple de 11 et 132 = 12 × 11.

2. Nombres premiers

On appelle nombre premier un entier naturel qui n'admet que 2 diviseurs distincts : lui même et 1.
Les nombres 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.

Exemples
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers.
21 admet 4 diviseurs (1, 3, 7 et 21) donc ce n'est pas un nombre premier.

3. Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers

Théorème (admis)
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit où chaque facteur est un nombre premier élevé à une puissance entière positive.

Exemples

;
.

Utilisation de cette décomposition pour simplifier une fraction
Simplifions la fraction .
et donc :
.
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, donc est une fraction irréductible.

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