Nombre dérivé en un point - approche algébrique
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définition du nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation.
- Notation du nombre dérivé d’une fonction en un point.
- Calculer le taux de variation d’une fonction en un point.
- Calculer le nombre dérivé en un point (ou la fonction dérivée) de la fonction carré, de la fonction inverse.
- Le quotient
est appelé taux de
variation de 
entre 
et 
.
- Dire que
est dérivable
en 
signifie qu'il existe un
réel 
vers lequel le quotient
tend lorsque 
tend vers 0. Ce
réel 
noté 
s’appelle le nombre
dérivé de 
en 
.
- L’étude du taux d’accroissement
d’une fonction
entre 
et 
permet donc de dire si cette
fonction est dérivable en 
et si oui, de déterminer son
nombre dérivé en 
.
Soit 
une fonction définie pour
tout 
appartenant à un
intervalle I et 
un réel de
l’intervalle I.
tel que 
soit dans I, le
quotient 
est appelé taux de
variation (ou taux d'accroissement) entre 
et 
.
On le note aussi : 
.
Soit
. Le taux de variation
de 
entre 1
et 1
pour 
est :
(
).
Soit
. Le taux de variation
de 
entre 1
et 1
pour 
est :
Lorsque 
se rapproche de 0, on dit
que 
tend vers 0.
On essaie alors de déterminer vers quel
réel tend 
lorsque 
tend vers 0, si ce
réel existe.
et 
Intuitivement, lorsque
tend vers 0, 
se rapproche de 2.Le taux
tend donc vers 2.
et 
Lorsque
tend vers 0, 
se rapproche de 1.Le taux
tend donc vers 1.
Soit une fonction 
définie sur I
et 
un réel de I .
est dérivable
en 
signifie qu'il existe un
réel 
vers lequel le
quotient 
tend lorsque 
tend vers 0.Ce réel
noté 
s’appelle le
nombre dérivé de en 
.
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1
tend vers 2, alors la
fonction 
est dérivable
en 
et le nombre
dérivé de 
en 1 est 2.On note
.
et 
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1
tend vers 1, alors la
fonction 
est dérivable
en 
et le nombre
dérivé de 
en 1 est 1.On note
.
En posant
, le taux
d’accroissement de 
entre 
et 
s’écrit 
.Ainsi, dire que
est dérivable
en 
signifie
que 
tend vers un
réel 
lorsque 
tend vers 
et on écrit :
.
L’étude du taux d’accroissement
d’une fonction 
entre 
et 
permet de déterminer si
cette fonction est dérivable en 
et calculer son nombre
dérivé en 
.
- On calcule le taux
d’accroissement
entre 
et 
pour 
non nul.
- On fait tendre le réel
vers 0 et on regarde
si 
tend vers un
réel 
. Si c’est le cas,
alors 
est dérivable
en 
et 
.
en 
On veut démontrer que la fonction
est dérivable
en 
et déterminer son nombre
dérivé.
- On calcule de taux d'accroissement
entre –2
et –2
pour 
non nul.
Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
Ainsi,
- On fait tendre le réel
vers 0.
Lorsque
tend vers 0,
tend aussi
vers 0 et 
tend donc
vers –14.
Ainsi
est dérivable
en 
et 
.
en 
On veut démontrer que la fonction
définie
sur 
par 
est dérivable
en 
et déterminer son nombre
dérivé.
- On calcule le taux d'accroissement entre 1
et 1
avec 
réel non
nul :
et 
Ainsi :
- On fait tendre le réel
vers 0.
Lorsque
tend vers 0,
tend aussi
vers 0, 
tend donc
vers 1 et enfin 
tend donc
vers 
.
–2 est un réel donc, oui, la fonction
est dérivable
en 
et de plus
.
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