Fiche de cours

Multiples et diviseurs- Seconde- Mathématiques

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Objectifs

Connaitre les définitions d’un multiple et d’un diviseur.
Connaitre quelques critères de divisibilité.
Connaitre plusieurs propriétés des multiples.
Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
Pour des entiers a et b donnés, déterminer à l’aide d’un algorithme le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.

Points clés

La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.

Pour bien comprendre

Nombres entiers naturels et relatifs
Tables de multiplication
Algorithmique

1. Divisibilité

Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Dans ce cas, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

Exemple 1
238 est divisible par 14 car 238 ÷ 14 = 17.
En effet, la division euclidienne de 238 par 14 donne un reste nul.

Dans ce cas, on dit que 238 est un multiple de 14 et de 17 car 238 = 14 × 17.
De même, on dit que 14 est un diviseur de 238.

Remarque
17 est aussi un diviseur de 238 car 238 ÷ 17 = 14.

Exemple 2
72 est divisible par 24 car 72 ÷ 24 = 3.
72 est un multiple de 24 et de 3.
24 est un diviseur de 72.

Contre-exemple
316 ÷ 25 = 12,64.
316 n’est pas divisible par 25.
25 n’est donc pas un diviseur de 316.

2. Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.

Exemples
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … ; 178 ; … ; 342 ; …

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Exemples
249 est divisible par 3 car 2 + 4 + 9 = 15 qui est divisible par 3 (15 ÷ 3 = 5).
376 n’est pas divisible par 3 car 3 + 7 + 6 = 16 qui n’est pas divisible par 3.

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Exemples
272 est divisible par 4 car le nombre 72 est divisible par 4 (72 ÷ 4 = 18).
346 n’est pas divisible par 4 car le nombre 46 n'est pas divisible par 4.

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Exemples
2 560 et 545 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou 5.
Par contre, 4 584 n’est pas divisible par 5.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples
2 538 est divisible par 9 car 2 + 5 + 3 + 8 = 18 qui est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
Par contre, 4 362 n’est pas divisible par 9 car 4 + 3 + 6 + 2 = 15 qui n’est pas divisible par 9.

3. Propriétés des multiples

Propriétés

On considère un entier b.

La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.

Exemples pour la somme et la différence
45 et 81 sont des multiples de 9, donc 126 = 81 + 45 est un multiple de 9.
15 et 21 sont divisibles par 3, donc 6 = 21 – 15 est divisible par 3.

Exemples pour le produit
2020 = 20 × 101. Or, 20 est un multiple de 4 donc 2020 est aussi un multiple de 4. On peut d’ailleurs vérifier que 2020 = 4 × 505.
Pour tout entier n, le nombre 3n – 27 est un multiple de 3. En effet, 3n est un multiple de 3 et 27 = 3 × 9 est un multiple de 3.
Donc 3n – 27 est la différence de deux multiples de 3, c’est aussi un multiple de 3.

Contre-exemple pour la division
45 = 3 × 15 et 9 = 3 × 3 donc 45 et 9 sont des multiples de 3. Toutefois,
45 ÷ 9 = 5 n’est pas un multiple de 3.
12 et 8 sont des multiples de 2 mais 12 ÷ 8 = 1,5 n’est pas un entier donc ne peut pas être un multiple d’un entier.

4. Programmation

Soient deux entiers a et b. À l’aide d’un programme, on peut obtenir le plus grand entier multiple d’un entier a qui soit inférieur ou égal à un entier b.

Par exemple, si a = 5 et b = 39, le plus grand entier multiple de a et inférieur ou égal à b vaut 35.

Langage naturel	Langage Python
Saisir a Rendre la variable a entière Saisir b Rendre la variable b entière k ← 0 Tant que ka<=b k ← k+1 Fin Tant que s ← partie entière de (k-1)a Afficher s	1 a=input( 'a?') 2 a=int(a) 3 b=input( 'b?') 4 b=int(b) 5 k=0 6 while ka<=b: 7 k=k+1 8 s=int((k–1)a) 9 print(s)

Quelques précisions sur les instructions

L1 et L3 : l’instruction d’entrée input demande à l’utilisateur de saisir les valeurs de a et de b.
L2 et L4 : int convertit le type des variables a et b en entier afin d’effectuer des calculs entre entiers à la ligne L5.
L5 à L7 : while est une boucle conditionnelle. Tant que le produit a × k est inférieur ou égal à b, on ajoute 1 à k.
L8 : int prend la valeur entière du produit (k–1)*a. En effet, l’entier k à l’issue de la boucle est tel que k*a dépasse b. Pour obtenir le multiple de a juste inférieur à b, on doit donc prendre (k–1) × a.
L9 : l’instruction de sortie print permet d’afficher la valeur de s obtenue.

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