Fiche de cours

Modèles de la répétition d'expériences identiques et indépendantes à 2 ou 3 issues

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Objectif

Savoir identifier ces modèles et utiliser des lois de probabilités en relation

1. Définitions

a. Expériences identiques et indépendantes

Considérons une expérience aléatoire. Si on répète cette expérience plusieurs fois de suite exactement dans les mêmes conditions que la première fois, on dit que les expériences sont indépendantes entre elles.

Exemple
Une boîte contient 10 boules indiscernables au toucher, réparties comme ceci :
– 5 blanches
– 3 noires
– 2 rouges
On tire une boule au hasard dans cette boîte.
On définit ainsi une expérience aléatoire dont l'univers est :

.
On définit aussi une loi de probabilité telle que :

Si on décide de tirer 1 boule deux fois de suite en prenant soin de remettre les boules et de mélanger la boite à chaque fois, on effectue des tirages dans les conditions initiales.

Les expériences sont donc identiques et indépendantes les unes des autres.

Remarque
Si on ne remettait pas la boule tirée dans la boîte, l'univers ne serait plus le même. Pour le deuxième tirage, les probabilités seraient aussi changées etc... Ceci n'est pas étudié en première.

b. Arbre pondéré

Pour schématiser la nouvelle expérience précédente consistant à prélever deux boules de suite dans les mêmes conditions de tirages, on utilise un arbre pondéré.
"Pondéré" signifie simplement que les branches vont être associées à leurs "poids", c'est à dire leurs probabilités respectives.
Pour réaliser un arbre correct, il faut distinguer les boules tirées au premier ou au second tirage.
Pour cela, on peut par exemple noter les événements comme ceci :
N₁= "tirer une boule noire au premier tirage"
N₂= "tirer une boule noire au second tirage" etc...

Voici une représentation de l'arbre pondéré :

2. Utilisation d'un exemple

a. La loi de probabilité: le principe du produit

Quand on veut calculer la probabilité qu'un événement représenté par une branche (seulement) se réalise, il suffit de multiplier les probabilités figurant sur les branches.

Exemple
La probabilité que l'événement "N₁ et R₂" se réalise est égale à : 0,3 x 0,2 = 0,06 (c'est la probabilité de trier d'abord une noire puis une rouge).

Répondons à une question !
Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ?
Ceci correspond à l'événement

.
On rappelle que l'on peut utiliser les symboles "inter "et "union" :

.
Les 3 événements réunis sont incompatibles deux à deux. La probabilité de la réunion est donc la somme des probabilités :

.

Passons au calcul :

b. Exemple d'introduction de variable aléatoire

Soit X la variable qui compte le nombre de boules rouges tirées au cours des 2 expériences.
Alors X prend les valeurs 0, 1 et 2.
On a :

Ce calcul est simple, car une seule branche est concernée. Mais pour les deux autres cas, c'est plus long ! Il y a un moyen d'aller plus vite. On va compléter les branches de l'arbre par les "probabilités produits" comme ci-dessous :

On en déduit que

.
Pour calculer

, on peut se servir de l'arbre ou encore passer par le fait que la somme des probabilités est égale à 1 :

.

À partir de là, on peut calculer l'espérance de X. On vérifiera que E(X)=0,4.
"En moyenne, sur l'ensemble des deux tirages, on obtient 0,4 boule rouge".

Remarque
On peut réaliser trois tirages indépendants successifs. L'arbre est alors "rallongé". Les principes développés ici restent valables.

L'essentiel

Si on répète cette expérience plusieurs fois de suite exactement dans les mêmes conditions que la première fois, on dit que les expériences sont indépendantes entre elles.

Pour schématiser la nouvelle expérience précédente consistant à prélever deux boules de suite dans les mêmes conditions de tirages, on utilise un arbre pondéré. "pondéré" signifie simplement que les branches vont être associées à leurs "poids", c'est à dire leurs probabilités respectives.

Quand on veut calculer la probabilité qu'un événement représenté par une branche (seulement) se réalise, il suffit de multiplier les probabilités figurant sur les branches.

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