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Mode de génération d'une suite

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Objectif

Découvrir la notion de suites de nombres réels et comment les formuler.

1. Notion de suite

a. Définition et notations

Une suite u est une fonction qui, à tout entier n supérieur ou égal à 0 ou supérieur ou égal à un entier naturel p, associe un réel u(n) que l’on notera plutôt u_n.

Ainsi, si l’on commence à n = 0 :

La suite u est aussi notée (u_n) : elle représente également l’ensemble des valeurs

.
u_n est appelé le terme de rang n ou terme général de la suite.
u₀ est appelé souvent le terme initial de la suite (si on commence à n = 1, u₁ sera le terme initial...).

Bien comprendre la notation indicielle:
u_n désigne le terme de rang n, u_n–1 désigne le terme de rang n–1, c'est-à-dire celui qui précède u_n et u_n+1 est le terme de rang n+1 : il est le terme qui suit u_n.

Attention : u_n n'est pas forcément le n^ième terme de la suite.

b. Exemple

On considère la suite définie par

pour tout n.
Cela signifie qu’à chaque entier naturel n, la suite u associe le réel

.
A l’entier naturel 0, elle associe donc le réel

.
Le terme de rang 10 vaut donc

, c’est le 11^ème terme de la suite (u₀ est le premier, u₁ est le deuxième…)

	A	B
1	n	un
2	0	-1
3	1	-0,5
4	2	1
5	3	3,5
6	4	7
7	5	11,5
8	6	17
9	7	23,5
10	8	31
11	9	39,5
12	10	49

Dans la cellule B2, on écrit

.
Le terme suivant u_n est le terme de rang n+1 et

2. Différentes façons de générer une suite

a. De manière explicite

L’expression de u_n est directement donnée en fonction de n.
Dans l’exemple précédent,

où

.
De même,

est une suite définie pour

par

avec

.
Dans ce cas, on peut calculer directement la valeur de tout terme de la suite.

b. Suite définie par récurrence

La donnée d’un premier terme et d'une relation liant u_n et u_n+1 dite relation de récurrence permet également de définir une suite.
Dans ce cas on dit que la suite (u_n) est donnée par sa formule de récurrence.

Par exemple, la suite (u_n) est définie par

.
Cette relation signifie que le terme initial est -1 et que tout autre terme s’obtient en multipliant par 2 son précédent et en ajoutant 4.
Ce qui signifie que

…

Par contre, on ne peut pas calculer u₁₀ : pour cela, il faut connaître la valeur de u₉ et donc celle de u₈….d’où le nom de récurrence.

	A	B
1	n	un
2	0	-1
3	1	2
4	2	8
5	3	20
6	4	44
7	5	92
8	6	188
9	7	380
10	8	764
11	9	1532
12	10	3068

Dans la cellule B2, on écrit -1
Dans la cellule B3, on écrit

L'essentiel

Une suite est une succession de nombres dont l’obtention suit une loi bien déterminée.

Elle peut notamment être définie :
• de façon explicite (chaque terme est exprimé directement en fonction de n)
• par récurrence (chaque terme est exprimé en fonction de son (ou ses) précédent(s) et de son (ou ses) premiers termes.

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