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Mise en équation ou en système d'équations d'un problème

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Objectif

Afin de résoudre certains problèmes, il peut être intéressant de le mettre sous forme d’équations ou de systèmes d’équations suivant le nombre d’inconnues à chercher.

Comment résoudre un problème grâce aux équations ou aux systèmes d’équations ?

1. Mise en équation d'un problème

Problème: Martin organise une tombola. Pour cela, il dépense 3400€ pour acheter différents lots, et imprime un grand nombre de billets. S'il fixait le prix du billet à 3€, il perdrait autant d'argent qu'il n'en gagnerait en le mettant à 5€. Combien y a-t-il de billets?

Pour résoudre ce problème, il peut être intéressant de suivre la procédure suivante :
     a. Choix de l’inconnue
     b. Mise en équation du problème
     c. Résolution de l’équation
     d. Conclusion du problème
     e. Vérification du résultat

a. Choix de l’inconnue : Soit x le nombre de billets de tombola

b. Mise en équation :
En mettant le billet à 3€, il perdrait

En mettant le billet à 5€, il gagnerait

Comme il perdrait autant qu’il gagnerait, on a :

c. Résolution de l’équation :

d. Conclusion : Il y a 850 billets de tombola.

e. Vérification :
• Avec 850 billets à 3€ il récolterait 850×3 = 2550€ ( <3400€ : il gagnerait moins qu'il n'a dépensé).
Il perdrait alors 3400–2550=850€
• Avec 850 billets à 5€, il récolterait 850×5= 4250€. ( >3400€ : il ferait des bénéfices)
Au total, il gagnerait 4250–3400=850€. Ce résultat correspond bien aux données du problème.

Remarque : Les problèmes mettant en jeu des inéquations se résolvent de la même manière.

2. Mise en système d'équations d'un problème

Problème : La tombola de Martin se déroule en 2 tirages suivant l’importance des lots. Pour les 2 tirages, il a vendu au total 850 billets. Le prix du billet pour le premier tirage est de 4,50 € et pour le deuxième tirage de 5 €.
Sachant que la vente de tous les billets lui a rapporté 4000 €, calculer le nombre de billets vendus pour chaque tirage.

Pour résoudre ce problème, il peut être intéressant de suivre la procédure suivante :
     a. Choix des inconnues
     b. Mise en système d’équations du problème
     c. Résolution du système d’équations
     d. Conclusion du problème
     e. Vérification du résultat

a. Choix des inconnues : Soit le x nombre de billets de tombola vendus pour le premier tirage et y, le nombre de billets de tombola pour le deuxième tirage.

b. Mise en système d’équations :
Au total, Martin a vendu 850 billets de tombola donc :

D’autre part, la vente des billets pour le premier tirage lui a rapporté 4,5

€, et la vente des billets pour le deuxième tirage 5y € . D’où

On obtient ainsi le système d’ équations :

c. Résolution du système d’équations
Résolution par substitution : La première équation du système donne :

.
Ce qui donne en reportant cette valeur dans la deuxième équation :

soit :

Ce qui donne :

d. Conclusion du problème
Martin a vendu 500 billets pour le premier tirage et 350 pour le deuxième.

e. Vérification du résultat
Au total, il y a bien 500 + 350 = 850 billets mis en vente.
De plus, la vente des billets lui rapporte

Ce résultat correspond bien aux données du problème.

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