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Mesures et incertitudes

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Objectifs

Connaitre le vocabulaire de la mesure.
Différencier une grandeur théorique parfaite d’une mesure réelle comportant toujours une erreur.
Comprendre le principe d’incertitude liée à une mesure.
Maitriser la notation scientifique et la notation ingénieur.

Points clés

Mesurer une grandeur en sciences expérimentales ne consiste pas uniquement à lui donner une valeur, mais aussi à lui associer une incertitude afin de qualifier la qualité de la mesure.
Une mesure se présente sous la forme M = m ± ΔM (avec une unité et un niveau de confiance).
La valeur est présentée en écriture scientifique avec un nombre correct de chiffres significatifs et une estimation de l’incertitude.
L’incertitude d'une mesure est liée aux erreurs, aléatoires ou systématiques, commises lors de la lecture de la valeur de la grandeur.

En sciences expérimentales, on utilise des instruments de mesure, qui permettent de déterminer la valeur d’une grandeur.

1. La mesure

a. Un peu de vocabulaire

Le mesurande est la grandeur à mesurer.
Le mesurage (ou mesure) est l’ensemble des opérations qui permettent d’obtenir la valeur de la grandeur.
La mesure peut être directe (utilisation d’un instrument de mesure) ou indirecte (grâce à une relation).
La valeur vraie () est le résultat si le mesurage était parfait (sans aucune erreur).
La mesure () est la valeur trouvée expérimentalement.
Le résultat du mesurage est l’ensemble des valeurs attribuées à un mesurande, assorti d’un intervalle de valeurs possibles.
L'erreur de mesure () est la différence entre la valeur mesurée et la vraie.

Le résultat d'un mesurage n'est jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure.

b. Un exemple type

On désire connaitre la longueur d’un crayon, sachant que le mesurande est la longueur L du crayon.

L’instrument de mesure utilisé est une règle graduée.
Le mesurage est effectué (avec une règle graduée) en millimètre.
La valeur vraie est la longueur L du crayon (inconnue).
La mesure est L = 16,6 cm.
Si l’erreur est de 0,1 cm, alors le résultat de la mesure est L = 16,6 ± 0,1 cm.

2. Notion d'erreur et d'incertitude

a. La notion d'erreur

Lorsqu’un même opérateur réalise N mesures dans les mêmes conditions expérimentales et avec le même instrument de mesure, on estime la valeur du mesurande par la valeur moyenne .

Erreur aléatoire

Un opérateur commet une erreur aléatoire (notée ) lorsqu’il commet une erreur de lecture, une erreur liée à l’appareil, ou une erreur liée aux conditions extérieures.

L’erreur aléatoire est la différence entre une valeur mesurée m_i et la valeur moyenne, soit la relation suivante.

avec :

la valeur de l’erreur aléatoire
la valeur mesurée
la valeur moyenne

Erreur systématique

Un opérateur commet une erreur systématique (notée ) lorsqu’il commet une erreur liée au réglage du zéro, une erreur de méthode, ou que le matériel est mal étalonné.

L’erreur systématique est la différence entre la mesure vraie (ou valeur vraie) et la valeur moyenne, soit la relation suivante.

avec :

la valeur de l’erreur systématique
la valeur vraie
la valeur moyenne

Une erreur de mesure est constituée d’une erreur aléatoire et/ou d’une erreur systématique.

Exemple
Lorsque l’opérateur mesure la longueur du crayon, il peut utiliser une règle déformée (

) ou se tromper en lisant les graduations (

b. L'incertitude de mesure

L’incertitude de mesure ΔM est un paramètre associé au mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées au mesurande.

Le résultat d’un mesurage est donné sous forme d’un intervalle de valeurs probables , associé à un niveau de confiance.

avec :

M l’intervalle de valeurs probables
m la valeur mesurée
ΔM l’incertitude de mesure

3. Expression et acceptabilité d'un résultat

a. Notation scientifique et ingénieur

Un résultat numérique peut s’écrire de plusieurs façons.

Notation scientifique

En notation scientifique, le nombre s’écrit sous la forme , avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9, et n un nombre entier.

Exemples
1,284 × 10⁴ ; 7 × 10⁸ ou 4,78 × 10^–6 sont des nombres écrits en notation scientifique.

Notation ingénieur

En notation ingénieur, le nombre s’écrit sous la forme , avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 999, et n un nombre entier.

Exemples
12,84 × 10³ ; 700 × 10⁶ ou 4,78 × 10^–⁶ sont des nombres écrits en notation ingénieur.

Remarque
L’écriture ingénieur permet de faire apparaitre l’ordre de grandeur d’un nombre.

Par exemple :

14 500 m s’écrit 14,5 × 10³ m en notation ingénieur. Cette notation permet de remarquer qu’on a une longueur dont l’ordre de grandeur est le kilomètre (du fait de la présence du 10³).
0,000 009 4 m s’écrit 9,4 × 10^–6 m en notation ingénieur. Cette notation permet de remarquer qu’on a une longueur dont l’ordre de grandeur est le micromètre (du fait de la présence du 10^–⁶).

b. Chiffres significatifs et précision

Dans un nombre, les chiffres à partir du premier chiffre différent de zéro sont tous significatifs.

Exemples

m = 63 g contient 2 chiffres significatifs.
L = 0,603 m contient 3 chiffres significatifs (le premier 0 n’est pas significatif).
V = 4,650 m/s contient 4 chiffres significatifs.

Par convention, le dernier chiffre significatif est donné avec une précision de ± 0,5.

Exemple
R = 47 Ω signifie que la valeur de la résistance est comprise entre 46,5 Ω et 47,5 Ω.

c. Le résultat d'un calcul

Le résultat d’un calcul ne peut pas être plus précis que la grandeur.

Le résultat ne peut donc pas contenir plus de chiffres significatifs que la grandeur.

Le résultat d’un calcul résulte donc d’un arrondi (valeur approchée du nombre en réduisant le nombre de chiffres significatifs).

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