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Matrices et opérations

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Objectif(s)

Donner les définitions définitives concernant les matrices.
Définir les opérations sur les matrices.

1. Définitions, vocabulaires et notations

a. Définition 1 : matrice

Soit (m, n) un couple d’entiers naturels non nuls.

On appelle matrice de dimension m × n (on ne calcule pas la valeur de ce produit ) ou de format (m ; n), tout tableau rectangulaire de m × n nombres, appelés coefficients de la matrice.
Ces coefficients sont disposés sur m lignes et n colonnes.

On note une matrice par une lettre majuscule et ses coefficients par la même lettre minuscule à laquelle on affecte deux indices, le premier représentant le numéro de la ligne et le second représentant le numéro de la colonne.
Par exemple, on écrit :

On peut aussi écrire : A = (a_i_,_j) avec (i,j) couple d’entiers vérifiant 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.

Le coefficient général a_i_,_j est le nombre situé à l’intersection de la i^-ième ligne et la j^-ième colonne.

b. Définition 2 : matrices particulières

• La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note 0.

• La matrice (a_i_,1, a_i_,2, …, a_i_,_n) est la matrice ligne de rang i de la matrice A ; on l’appelle encore vecteur ligne de rang i.

• La matrice colonne de rang j de la matrice A est aussi appelée vecteur colonne de rang j.

On la note :

c. Définition 3 : égalité de deux matrices

On dit que deux matrices A et B sont égales lorsqu’elles ont la même dimension et pour tout couple (i, j), on dispose de l’égalité a_i_,_j = b_i,_j. Ainsi, on note A = B.

Remarque
Si A et B ne sont pas égales alors soit elles n’ont pas la même dimension soit il existe un couple (i,j) pour lequel a_i_,_j ≠ b_i_,_j. On note A ≠ B.

2. Addiction matricielle : multiplication d'une matrice par un nombre

a. Addition de deux matrices

Pour tout couple (A, B) de matrices de même dimension m × n, on appelle addition ou somme de A et de B, et l’on note A + B, la matrice S de dimension m × n vérifiant s_i_,_j = a_i_,_j + b_i_,_j, pour tout couple (i ; j) tels que 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.

Remarque
A + B = B + A.

b. Multiplication d'une matrice par un nombre

Soit A une matrice de dimension m × n.
Pour tout réel k, la matrice de coefficient général k × a_i_,_j est la matrice dont tous les coefficients de la matrice A ont été multipliés par le nombre k.
Cette nouvelle matrice est de dimension m × n et on la note kA.

Exemple :

Soient

.

Calculer C = A + 2B.

Remarque
A + (–1)B se note A – B et B + (–B) = 0.

3. Multiplication de deux matrices

Cette opération est un peu plus compliquée à définir.
On va donc commencer par deux exemples formateurs.

• Exemple 1 :

Soient

. A est de dimension 1 × 2 et B, de dimension 2 × 1.

On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 1 × 1 que l'on note A × B ou AB.
On procède ainsi :

.

• Exemple 2 :

Soient

. A est de dimension 2 × 3 et B, 3 × 2.

On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 2 × 2.

Posons P la matrice produit AB et détaillons le calcul de chacun de ses coefficients.
p_i_,_j se calcule à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et le vecteur colonne de rang j de B.

On procède alors comme dans l’exemple 1 :

Donc : P = AB =

.

Pour calculer AB, on aurait pu placer les matrices comme ci-dessous :

Soit A une matrice de dimension m × n.
Soit B une matrice de dimension n × p.

La multiplication de la matrice A à n colonnes, par la matrice B à n lignes, est la matrice produit P, notée A × B ou plus simplement AB.
C’est une matrice de dimension m × p et de coefficient général, défini à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et du vecteur colonne de rang j de B, est égal à :

Remarques
La calculatrice et des logiciels spécifiques pourront vous aider à calculer ces produits, surtout quand les dimensions sont « grandes ».
Il faut faire très attention aux dimensions.

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