Fiche de cours

Matrices carrées

Lycée > Terminale > Mathématiques > Matrices carrées

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectif(s)

Rappeler les définitions des matrices carrées.
Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.

1. Définitions

a. Matrice carrée

Soit n un entier naturel non nul.
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.

Si on note A = (a_i_,_j) une telle matrice, les coefficients a_i_,_i, à savoir a_1,1, a_2,2, …, a_n_,_n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.

Exemple :

b. Matrice nulle et matrice identité

Soit n un entier naturel non nul.

La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0_n.

La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note I_n.

Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités A

I_n = I_n

A = A.

Exemple :

2. Règles sur les opérations

Les matrices carrées obéissent aux règles générales concernant les opérations matricielles, mais la multiplication est à manier avec précaution.

On sait tous que 2

3 = 3

2. On dit que la multiplication des nombres est une opération commutative. Or ce n'est pas du tout le cas pour le produit de deux matrices carrées.

a. Règle 1 : le piège de la non-commutativité du produit matriciel

Il existe des couples (A ; B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifient pas l’égalité : A × B = B × A.

Un petit exemple pour s'en convaincre :

Remarque
Pour tout couple (a, b) de nombres, si a

b = 0, alors a = 0 ou b = 0 ; on dit que le nombre 0 n’a pas de diviseurs. Or pour les matrices carrées, c'est particulier : la matrice 0_n a des diviseurs...

b. Règle 2 : le piège des diviseurs de la matrice nulle

Il existe des couples (A ; B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifient pas la proposition :

A × B = 0 A = 0 ou B = 0

Un petit exemple pour s'en convaincre :

.

Remarque
Cette règle 2 induit un autre piège, à savoir qu’il peut exister deux matrices d’ordre n distinctes B et C et une matrice d’ordre n notée A telles que A × B = A × C.

Exemple :

Cependant, deux règles restent inchangées par rapport à celles sur les nombres :

► Règle de l'associativité telle que : 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
► Règle de la distributivité de la multiplication sur l'addition : 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4.

Ces règles sont vraies pour les matrices carrées.

c. Règle 3 : l'associativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition

Pour tout triplet (A, B, C) de matrices carrées d’ordre n, on dispose des égalités suivantes :
A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.

Pour tout couple (A, B) de matrices carrées d’ordre n et pour tout réel k, on dispose des égalités :
kAB = (kA)B = A(kB).

Évalue ce cours !

Note 3.5 / 5. Nombre de vote(s) : 61

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT