Fiche de cours

Loi normale

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectif(s)

• Utiliser une calculatrice ou un tableur pour obtenir une probabilité dans le cadre d’une loi normale

.
• Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants :

, lorsque X suit la loi normale

Remarque : la loi normale est sans doute le modèle probabiliste le plus utilisé pour décrire de très nombreux phénomènes observés dans la pratique.

1. Définition et propriétés

Pour μ et σ deux réels avec 0 < σ, la variable aléatoire X suit la loi normale

si et seulement si

suit la loi normale centrée réduite N(0,1).

Il faut connaître les résultats suivants (non démontrés) :

• P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ)

0,68.

• P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ)

0,95.

• P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ)

0,997.

Il faut savoir utiliser une calculatrice ou un tableur pour en obtenir les différentes probabilités recherchées. (voir fiche méthodologique : Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale).

2. Représentations graphiques

Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction est une courbe de Gauss. On dit que c’est une courbe « en cloche », plus ou moins haute ou aplatie selon les paramètres μ et σ.

La fonction densité de la loi

s'écrit :

.

Elle n’est pas à connaître en terminale ES. Cela permet d’en tracer quelques représentations graphiques en fonction des paramètres μ et σ choisis.

Ci-dessous on commence par faire varier μ puis σ.

Variations de μ :

• Pour μ = 0 et σ = 1, c’est la loi normale centrée réduite :

• Pour μ = 1 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 sur la droite :

• Pour μ variant de - 1 à 3 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 de gauche à droite :

Variations de σ :

• Pour μ = 1 et σ = 2, élargissement et aplatissement de la courbe autour de son centre de symétrie :

• Pour μ = 1 et σ = 0,5, resserrement et augmentation du pic de la courbe :

• Pour μ = 1 et σ variant de 0,5 à 3 :

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