Loi, épreuve et schéma de Bernoulli
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- Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.
- Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli.
- Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement deux issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
- Soit X une
variable aléatoire et
p un nombre réel tel que
0 < p < 1.
On dit que X suit une loi de
Bernoulli de paramètre p si :
l’univers de X est ΩX = {0 ; 1} ;
P(X = 1) = p
et P(X = 0) = 1 – p.
On note la loi de Bernoulli par B(p). - Soit X une
variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de
paramètre p alors :
- l’espérance de X est E(X) = p ;
- la variance de X est V(X) = p(1 – p) ;
- l’écart-type de X est
.
- Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition, d’une manière indépendante, d’une épreuve de Bernoulli n fois.
- Le nombre de chemins ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n est
.
« X = a » est l’événement lorsque X prend la valeur a.
P(X = a) est la probabilité de l'événement « X = a ».
L’univers de X est l’ensemble des valeurs possibles de X.On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si on obtient la face 6, on gagne 2 euros.
Si on obtient la face 1 ou 3, on ne gagne rien.
Si on obtient une autre face, on perd 1 euro.
On note X le gain obtenu.
X est une variable aléatoire dont l’univers est 2 ; 0 et –1.
On peut résumer ces probabilités sous la forme d’un tableau, qu’on appelle le tableau de la loi de probabilité de X.
| xi | –1 | 0 | 2 |
| pi = P(X = xi) |
|
|
|
Soit X une variable aléatoire d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xn} et dont la loi est définie par
p1 = P(X = x1) ; p2 = P(X = x2) ; … ; pn = P(X = xn).
On sait que, dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités des événements (c’est-à-dire les éléments de l’univers de cette expérience) est égale 1.
Donc p1 + p2 + … + pn = 1.
Soit 
ou 
.
P(X ≥ k) = 1 – P(X < k)
P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)
Il faut faire attention aux inégalités larges et strictes dans ces formules.
On appelle communément les deux issues :
- « succès » notée S et sa probabilité p ;
- « échec » notée
et sa
probabilité q = 1 – p.
En d’autres termes, P(S) = p
et 
.
On peut représenter l’épreuve de Bernoulli par l’arbre pondéré suivant.
Les situations suivantes peuvent être modélisées comme une épreuve de Bernoulli :
- le lancer d’une pièce (Face ou Pile) ;
- le lancer d’un dé si l’on ne s'intéresse qu’à la face 6.
Étant donné une épreuve de Bernoulli, considérons la variable aléatoire X prenant pour valeur 1 quand le succès est réalisé, ou prenant pour valeur 0 dans le cas de la réalisation de l'échec.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli. On dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si :
- l’univers de X est ΩX = {0 ; 1} ;
- P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p.
Autrement dit, la loi de Bernoulli peut se résumer sous la forme du tableau suivant :
| xi | 0 | 1 |
| pi = P(X = xi) | 1 – p | p |
On lance un dé cubique classique équilibré.
On s’intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité
.La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.
La loi de X est une loi de Bernoulli de paramètre
.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors :
- l’espérance de X est E(X) = p ;
- la variance de X est V(X) = p(1 – p)
- l’écart-type de
X est
.
Considérons une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
| xi | 0 | 1 |
| pi = P(X = xi) | 1 – p | p |
V(X) = E(X2) – E(X)2 = (02 × (1 – p) + (12 × p) – p2 = p – p2 = p(1 – p)
Reprenons l’exemple précédent du lancer de dé pour lequel on considère la sortie de la face 6 : la loi de X est une loi de Bernoulli de paramètre
, donc :
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est
. On
note X
le nombre de fois qu’on obtient pile lors de ces
trois lancers. On va tracer l’arbre
pondéré et déterminer la loi de
probabilité de cette variable
aléatoire.Un succès S est représenté par chaque apparition de l’événement « pile », de probabilité
. L’échec,
l’événement 
, aura pour
probabilité 
.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X = k) |
|
|
|
|
On dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
Soit n un nombre entier naturel, on définit un nombre entier qu’on note n! (on lit factorielle n) par : n! = 1 × 2 × … × n et 0! = 1
Soit k un nombre entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n, on définit un nombre entier naturel noté
et on
lit « k
parmi n »
par 
.
3! = 1 × 2 × 3 = 6
Soit n et k deux nombres entiers naturels tels que 0 < k < n.
Le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n est
.
On procède par un raisonnement par
récurrence : on note Pn :
« Le nombre de chemins ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n est ».
- 1re étape : Initialisation
On vérifie que Pn est vraie
pour n
le plus petit possible, ici n = 1.
On se retrouve dans une situation d’une
épreuve de Bernoulli où il n’y a
qu’un seul chemin avec un succès,
soit 
.
Donc Pn est vraie
pour n = 1.
- 2e étape : Hérédité
On suppose que pour Pn est vraie,
c’est-à-dire que le nombre de chemins
ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n est .
Démontrons que Pn + 1
est vraie, c’est-à-dire que le nombre de
chemins ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n + 1
est 
.
En effet, on a (n + 1)
répétitions de l’épreuve de
Bernoulli, s’il y a (k – 1) succès
pour les n premières
répétitions, puis un succès
à la dernière répétition,
cela fournit 
chemins et,
s’il y a eu k succès
pour les n premières
répétitions, puis un échec
à la dernière répétition,
cela fournit chemins.
On a donc au total 
chemins,
or, d’après la propriété de
Pascal, 
. Donc on a bien
chemins ayant
k succès
dans un schéma de Bernoulli
d’ordre n + 1.
Donc Pn+1
est vraie.
- 3e étape : Conclusion
Pn est vraie
pour tout entier naturel non nul, donc le nombre de
chemins ayant k succès
dans un schéma de Bernoulli
d’ordre n est .
Dans un schéma de Bernoulli d’ordre 5, le nombre de chemins ayant 2 succès est
.
Toutes les calculatrices ont une touche
« ! » qu’on peut
utiliser pour avoir le résultat
de n!.
Pour calculer les résultats de :
- Sur Texas instrument (82 stat, 83 et 84), écrire n, puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb »), puis l’argument k. Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
- Sur TI-NSpire, dans une page calcul, entrer « nCr ».
- Sur Casio, écrire n puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB »), puis l’argument k.
On peut aussi utiliser un tableur pour déterminer des coefficients binomiaux. Dans une cellule, on écrit « =COMBIN(n;k) ».
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