Fiche de cours

Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini

Lycée > Terminale > Mathématiques > Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs :

Prolongement du travail réalisé sur les suites.
Appropriation du concept de limite.
Acquisition des techniques de base.

1. Limite finie d'une fonction aux infinis

a. Limite en plus l'infini

Définition
Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite L en +∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On notera :

Traduction graphique :

Exemple : f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) =

.
Démontrons que

.

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 ; donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x > 0 ⇔ x² >

et x > 0 ⇔ x >

et x > 0.

On en déduit que si x est assez grand (dès que x >

) alors f(x) < b.
Donc, si x est assez grand, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

b. Limite en moins l'infini

Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers -∞ » ou « f a pour limite L en -∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue. On notera :

Exemple : f est la fonction définie sur ] -∞ ; 0[ par f(x) =

Démontrons que

.

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x < 0 ⇔x² >

et x < 0 ⇔ x <

et x < 0.

On en déduit que si x est assez grand en valeur absolue et négatif (dès que x <

) alors f(x) < b donc si x est assez grand en valeur absolue et négatif, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

2. Limite infinie aux infinis

a. En plus l'infini

« f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite +∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Traduction graphique :

« f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite -∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]-∞ ; -B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Exemple : f est la fonction définie sur ]-∞ ; +∞[ par f(x) = x³.
Démontrons que

.

Soit A > 0 ; f est croissante sur

donc si x >

, alors f(x) > A.
On en déduit que si x est assez grand (dès que x >

), alors f(x) ∈ ]A ; +∞[, ce qu'il fallait démontrer.

b. En moins l'infini

Les définitions sont analogues en remplaçant l'expression « pour x assez grand » par « pour x négatif et assez grand en valeur absolue ».

Exemple : f est la fonction définie sur ]-∞ ; +∞[ par f(x) = x³.

Démontrons que

.

Il faut démontrer que tout intervalle ]-∞ ; -B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue.

Soit B > 0 ; f est croissante sur

donc si x <

, alors f(x) < -B.
On en déduit que si x est négatif et assez grand en valeur absolue (dès que x >

) alors f(x) ∈ ]-∞ ; -B[, ce qu'il fallait démontrer.

L'essentiel

• On appelle « limite d'une fonction » la valeur que semble prendre cette fonction pour un réel, un intervalle, ou un signe à l'infini donnés ; cette valeur peut être un réel ou tendre vers +∞ ou -∞.

• Certaines fonctions communes, dites fonctions de référence, ont des limites connues :


	0	0

Évalue ce cours !

Note 2.5 / 5. Nombre de vote(s) : 86

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT