Fiche de cours

Les vecteurs

Lycée > Seconde > Mathématiques > Les vecteurs

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Définir une translation.
Repérer deux vecteurs égaux.
Utiliser l’égalité de deux vecteurs dans une résolution de problème mettant en jeu des parallélogrammes.

Points clés

La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur ». On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur .
Les caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme.
Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.
Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
ABCD est un parallélogramme .
Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme mais ont des sens contraires.

Pour bien comprendre

Translation

1. Translation et vecteurs

Le déplacement rectiligne d’un objet d’une position de départ vers une position d’arrivée s’appelle une translation.

Pour caractériser ce déplacement, on peut relier un point noté A de la figure de départ au même point noté A’ de la figure d’arrivée par une flèche que l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur à l’aide de son point d’origine et de son extrémité sous la forme : .

La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la « translation de vecteur

».
On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur

2. Caractéristiques d'un vecteur

On considère le vecteur tracé précédemment.

Ce vecteur a trois caractéristiques :

sa direction : la droite (AA’) ;
son sens : de A vers A’ ;
sa norme : la longueur AA’ notée aussi .

Cas particulier
Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté

. Ce vecteur n’a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0.

Exemples

3. Vecteurs égaux

a. Caractéristiques de deux vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes caractéristiques, c’est-à-dire même direction, même sens et même norme.

Exemple 1
On reprend la figure de la moto avec la translation qui transforme A en A’ :

Sur cette figure, les vecteurs , et ont :

la même direction, car les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont parallèles ;
le même sens, c’est-à-dire vers la droite ;
la même norme, car les longueurs AA’, BB’ et CC’ sont égales.

Ainsi, on peut écrire que .

Remarque : les vecteurs , et sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut noter à l'aide d'une lettre minuscule . On note alors .

Exemple 2
On considère le rectangle ABCD de centre O.

Les propriétés vues au collège permettent de dire que les côtés de ce rectangle sont parallèles deux à deux et de même longueur.
On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :

.
De plus, les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu. On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :

b. Égalité de vecteurs et parallélogramme

On considère le parallélogramme ABCD suivant.

Les côtés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux et de même longueur, on peut donc écrire que .

Réciproquement, un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc, si , alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

On peut donc retenir des deux points précédents :

ABCD est un parallélogramme

4. Vecteurs opposés

Deux vecteurs opposés sont des vecteurs qui ont la même direction, la même norme mais des sens contraires.

Exemple 1
Les vecteurs

sont des vecteurs opposés : ils ont la même direction, c’est-à-dire la droite (AB) ; la même norme, c’est-à-dire la longueur AB ; par contre ils n’ont pas le même sens, le vecteur

a son sens de A vers B alors que le vecteur

a son sens de B vers A. On note

Exemple 2
Sur la figure ci-dessous, AEFG est un parallélogramme.
Les vecteurs

ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire

.
Les vecteurs

ont la même direction, la même norme et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs opposés et on peut écrire

Évalue ce cours !

Note 3.6 / 5. Nombre de vote(s) : 112

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT