Les suites numériques : comportement à l'infini de (q^n), avec q un réel

Pour l’étude à l’infini de (qⁿ), q étant un réel, on doit utiliser à un moment de la démonstration une inégalité qui fut démontrée par Bernoulli.

La démonstration de cette inégalité se fait à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Soit a un réel strictement positif fixe et n un entier naturel quelconque.

On appelle (P_n) la proposition (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.

n = 0
On a : (1 + a)⁰ = 1 et 1 + 0 × a = 1 et 1 ≥ 1, donc (P₀) est une proposition vraie.

Soit k un entier naturel quelconque.

On doit démontrer que la proposition ((P_k)(P_k+1)) est une proposition vraie. Autrement dit, on doit démontrer que l’inégalité (1 + a)^k+1 ≥ 1 + (k + 1)a  est vraie sachant que l’on dispose de l’inégalité (1 + a)^k ≥ 1 + ka.

On a : (1 + a)^k+1 = (1 + a) (1 + a)^k et (1 + a)^k ≥ 1 + ka et a > 0,
donc  (1 + a) (1 + a)^k ≥ (1 +  a)(1 + ka). On a en fait multiplié les deux côtés par le nombre positif (1 + a).

Ainsi (1 + a)^k+1 ≥ 1 + (k + 1)a + ka².
Or, 1 + (k + 1)a + ka² ≥ 1 + (k + 1)a  puisque ka² ≥ 0.

Finalement, on a bien (1 + a)^k+1 ≥ 1 + (k + 1)a.

La proposition (P_n) est vraie au rang initial n = 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

Conformément au programme, on ne démontre que (P₁). On note néanmoins que (P₂) est une proposition évidente puisque 1ⁿ = 1, donc 1ⁿ → 1.

Soit q un réel vérifiant q > 1. On a :
q > 1, il existe un réel a tel que q = 1 + a et a > 0.

Donc d’après le lemme de l’inégalité de Bernoulli, on a :
qⁿ = (1 + a)ⁿ  ≥ 1 + na
(n → + ∞ et a → a et a > 0) (na → + ∞)
(1→ 1 et na → + ∞) (1 + na → + ∞)

Conclusion : (qⁿ ≥ 1 + na et 1 + na → + ∞) (qⁿ → + ∞), d’après un théorème de comparaison.

Exemples d’application directe
  • 2ⁿ → + ∞ car 2 > 1.
  • car .

Exemple d’application indirecte
Pour tout entier naturel n, on pose . Étudier le comportement à l’infini de (u_n).
Soit n un entier naturel.
On a :
.

On peut constater qu’il est nécessaire de bien maitriser les formules sur les puissances entières, formules vues au collège.
, donc et , donc u_n → + ∞.

• Une suite géométrique u de raison q est une suite de terme général u_n = u_p × q^n–p, où u_p est le premier terme, terme donné.

Donc ; est un nombre fixe donné et l’on connait le comportement à l’infini de qⁿ à l’aide du théorème précédent : on peut donc étudier le comportement à l’infini de la suite u.

• Soit u une suite géométrique de premier terme u₀ donné et de raison q (on adaptera les calculs si le premier terme n’est pas u₀).

On s’intéresse parfois dans les exercices à la somme des termes consécutifs de la suite u.

Par exemple, on pose : .

On a vu en 1S que l’on peut simplifier S_n ; on va le refaire pour rappel.

On a :

, il s’agit d’une somme de (n+1) termes.
S_n = u₀(1 + q + … + q^n–1 + qⁿ)

• Cas 1 : q = 1.

S_n = u₀(1 + 1 + … + 1 + 1) = u₀(n+1).
n + 1 → + ∞ et u₀ → u₀ donc S_n → ± ∞, cela dépend du signe de u₀.

• Cas 2 : q ≠ 1.

S_n = u₀(1 + q + … + q^n–1+ qⁿ)

d’après une formule démontrée en 1S.

.

est une constante et on connait le comportement à l’infini de qⁿ. Il ne reste plus qu’à déduire le comportement à l’infini de (1 – q × qⁿ), puis d’en déduire le comportement à l’infini de S_n.