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Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes

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Objectif

Établir la convergence ou la divergence d’une suite vers ou .

Points clés

Soit (u_n) et (v_n) deux suites. On dit que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≤ v_n. On dit que la suite (u_n) est minorée par la suite (v_n) si u_n ≥ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ v_n.
Théorème des convergences :
Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème des gendarmes :
Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes telles que v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et l un réel. Si lim V_n = lim W_n = l, alors lim U_n = l.
Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang. Si , alors . Si , alors .
Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence converge vers 0.

Pour bien comprendre

Connaitre les notions de monotonie d’une suite et de convergence d’une suite.
Effectuer un raisonnement par récurrence.
Connaitre les suites géométriques et savoir déterminer leurs limites.

1. Comparaison et suites numériques

a. Comparaison de deux suites

Soit (u_n) et (v_n) deux suites numériques.

On dit que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≤ v_n.
On dit que la suite (v_n) est minorée par la suite (u_n) si u_n ≥ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ v_n.

Exemple
La suite (u_n) est représentée en orange et la suite (v_n) en violet.

À partir du rang 5, la suite (v_n) devient plus grande que la suite (u_n).
On peut dire que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) et aussi que la suite (v_n) est minorée par la suite (u_n).

b. Suites majorées, suites minorées

Soit (u_n) une suite numérique.

On dit que la suite (u_n) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que u_n ≤ M pour tout entier n.
On dit que la suite (u_n) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que u_n ≥ m pour tout entier n.
On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Autrement dit, une suite majorée est une suite dont aucun terme ne dépasse un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes dépassent un nombre donné.

Exemples
Soit (u_n) et (v_n) deux suites définies par

u_n ≤ 4
Donc la suite (u_n) est majorée par 4.

v_n ≥ 2
Donc la suite (v_n) est minorée par 2.

c. Théorème des convergences

On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.

Théorème des convergences
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u₀ = – 1 et

.
On veut montrer que cette suite est convergente, en utilisant le théorème des convergences.

On commence par montrer par récurrence que u_n ≥ – 4.
On note P_n : « u_n ≥ – 4 pour tout entier naturel ».

1^re étape : Initialisation
On vérifie que P_n est vraie pour le plus petit entier possible, ici pour n = 0.
u₀ ≥ – 4
– 1 ≥ – 4
Ce qui est vrai, donc P₀ est vraie.

2^e étape : Hérédité
On suppose que P_n est vraie, c’est-à-dire u_n ≥ – 4, et on démontre que P_n₊₁ est vraie, c’est-à-dire u_n+₁ ≥ – 4.
On suppose que P_n est vraie, c’est-à-dire :

u_n ≥ – 4
Donc P_n₊₁ est vraie.

3^e étape : Conclusion
P_n est vraie pour tout entier naturel n, donc u_n ≥ – 4 pour tout .
On cherche maintenant à étudier le sens de variation de cette suite. Pour montrer que la suite (u_n) est décroissante, il faut montrer que u_n₊₁– u_n est négatif.

Or u_n ≥ – 4

u_n₊₁– u_n ≤ 0
Donc la suite (u_n) est une suite décroissante.
On a u_n ≥ – 4, donc la suite (u_n) est une suite minorée. De plus, (u_n) est une suite décroissante, donc, d’après le théorème des convergences, la suite (u_n) est une suite convergente.

2. Comparaisons et limites de suites

a. Inégalités et limites

Propriété
Soit (u_n) et (v_n) deux suites convergentes telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang, alors lim u_n ≤ lim v_n.

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.

Exemple
Soit (u_n) une suite convergente telle que

, pour tout n > 0. On veut donner un encadrement de la limite de la suite (u_n).

donc

b. Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes
Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes telles que v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et l un réel.
Si lim V_n = lim W_n = l, alors lim U_n = l.

Démonstration

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes et l un réel. (v_n) et (w_n) admettent la même limite l et v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang.

Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :

lim V_n ≤ lim U_n ≤ lim W_n
l ≤ lim U_n ≤ l

lim U_n est comprise entre deux nombres égaux à l, donc lim U_n = l.

Exemple
On veut calculer

Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes,

c. Comparaison et suites divergentes

Théorème
Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang.

Si , alors .
Si , alors .

Exemple
Soit (u_n) une suite telle que n²≤ u_n pour tout entier naturel n.

Par comparaison,

3. Suites adjacentes

a. Définition

Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence converge vers 0.

Soit (u_n) et (v_n) deux suites numériques.

On dit que ces deux suites sont adjacentes si :

la suite (u_n) est croissante ;
la suite (v_n) est décroissante ;
lim (v_n – u_n) = 0.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u₀= 1 et

et (v_n) la suite définie par v₀ = 12 et

, pour tout entier naturel n.
1. Montrer que la suite (w_n) définie par w_n = v_n – u_n est une suite géométrique et donner sa limite.
2. Démontrer que les suites (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes.

1. Pour montrer que la suite (w_n) est une suite géométrique, il faut montrer que w_n+1 = qwn avec q la raison de cette suite.

Donc la suite (w_n) est une suite géométrique de raison

.
La raison

étant comprise strictement entre –1 et 1, cette suite tend vers 0 quand n tend vers

.

2. On a

. Il reste à étudier les sens de variations des deux suites.

Or (w_n) est une suite géométrique de raison et de premier terme w₀ = v₀ – u₀ = 12 – 1 = 11 qui est positif, donc w_n est positive.
u_n₊₁ – u_n est positif, donc la suite (u_n) est croissante.
w_n est positive, donc v_n₊₁– v_n est négatif, donc la suite (w_n) est décroissante.
La suite (u_n) est croissante, la suite (v_n) est décroissante et , donc les deux suites sont adjacentes.

b. Propriété

Propriété
Deux suites adjacentes sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Exemple
Reprenons l’exemple précédent.
Soit (u_n) la suite définie par u₀= 1 et

et (v_n) la suite définie par v₀ = 12 et

, pour tout entier naturel n.
On pose t_n = 3u_n + 8v_n.
On veut montrer que la suite (t_n) est constante et en déduire la limite de ces deux suites adjacentes.

Donc la suite (t_n) est une suite constante, d’où :
.
Soit 3u_n + 8v_n = 99, comme ,

On en déduit que .

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