Fiche de cours

Les suites arithmétiques- Première techno - Mathématiques

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Quiz et exercices
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Objectifs

Découvrir une suite particulière définie par récurrence.
Savoir la reconnaitre, exprimer son terme général en fonction de et l’utiliser pour calculer un terme donné.

Points clés

Une suite arithmétique est une suite récurrente définie par où r est un réel appelé raison de la suite.
Pour tout , ou avec un entier.

Pour bien comprendre

Notion de suite et de terme général d'une suite
Notion de suite définie par récurrence
Fonctions affines

1. Définition et propriété

Une suite

est dite arithmétique s'il existe un réel

tel que

pour tout

. Le réel

est appelé raison de la suite.

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre .

Exemples
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme

.
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme

Montrer qu’une suite est arithmétique
Une suite numérique est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.

Exemple
On souhaite prouver que la suite

définie par

pour

est une suite arithmétique.
Déroulons rapidement les premiers termes de la suite : 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5 ; …
Il semblerait que l’on ajoute toujours le même nombre (–0,5) pour passer d’un terme à son suivant.
Il semblerait que la différence entre 2 termes consécutifs soit constante, égale à –0,5.

Apportons la preuve par le calcul :

Comme la différence est constante, (indépendante de

), on peut conclure que la suite

est arithmétique de raison –0,5 et de premier terme

2. Formule explicite

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors pour tout , on a les relations suivantes.

et	avec : le premier terme de la suite un terme de rang un terme de rang un nombre entier naturel un nombre entier naturel un nombre réel

Pour obtenir :

en partant de : on ajoute fois la raison ;
en partant de (lorsque ) on ajoute fois la raison.

Ainsi : ; ;
Ces formules permettent de passer de la définition par récurrence à la formule explicite.

Exemple
Soit

une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme

.
Alors on peut dire que

pour tout

.
Ainsi, par exemple,

3. Lien avec les fonctions affines

Une suite arithmétique étant de terme général , on peut l'écrire où est la fonction affine de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine .

Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.

Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.

Exemple avec

Les points successifs de gauche à droite correspondent à , , … , : on observe qu'ils sont alignés sur la droite représentant la fonction affine .

4. Modéliser une situation avec une suite arithmétique

Situation

Un retraité ayant placé 24 000 € sur un compte d'épargne se fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte, sans le recréditer. On note le montant restant sur son compte d'épargne au bout de mois.

est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme et de raison −250 puisque .
On peut donc écrire le terme général : .
Ainsi, on peut répondre à une question du type « au bout de combien de temps son compte d'épargne aura-t-il diminué de moitié ? » en résolvant l'équation et en trouvant .

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