Les représentations d'un nombre et les changements
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir écrire un nombre sous forme décimale, fractionnaire et scientifique.
- Savoir passer d'une forme à l'autre.
- Un nombre décimal se compose d’une partie entière et d’une partie décimale finie, séparées par une virgule.
- Il ne faut pas confondre « nombre » et « chiffre ». Un nombre décimal s’écrit à l’aide des 10 chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9).
- Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
- Une fraction décimale a la forme
, le numérateur a étant un entier et le
dénominateur b étant un multiple de 10
(10, 100, 1 000, etc.). Dans une fraction, le
numérateur et le dénominateur sont toujours
des nombres entiers. Si l’un de ses nombres n'est pas
un nombre entier, on l’appelle alors écriture
fractionnaire.
- Un nombre positif est écrit en notation
scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme
suivante :
avec a un
nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 ; et
n un nombre entier relatif.
- Pour les valeurs qui dépassent la limite des
10 chiffres, la calculatrice utilise la notation
scientifique. Elle exprime le nombre sous la
forme
.
- Il est possible aussi de choisir le mode d'affichage « notation scientifique » symbolisé « sci ».
Le système décimal est le système le plus répandu dans le monde. Il permet avec peu de signes (chiffres) de représenter tous les nombres entiers et décimaux grâce à un système de positions (rangs).
Un nombre décimal ne change pas de valeur s’il comporte des zéros avant la partie entière ou après la partie décimale. On les appelle des « zéros inutiles ».
4,75200 = 4,752 ;
0048,7 = 48,7 ;
07,40300 = 7,403.
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre ». Un nombre décimal s’écrit à l’aide des 10 chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9).
Chaque chiffre d’un nombre décimal est repéré par son rang.
Donner le rang des chiffres du nombre décimal 4,152.
Pour cela, on écrit le nombre dans le tableau ci-dessous :
| Partie entière | Partie décimale | |||||||||||
| Millions | Milliers | Unités simples | ||||||||||
| centaine | dizaine | unité | c. | d. | u. | c. | d. | u. |
, |
dixième | centième | millième |
| 4 | 1 | 5 | 2 | |||||||||
4 est le chiffre des unités, 1 est le chiffre des dixièmes, 5 est le chiffre des centièmes et 2 est le chiffre des millièmes.
- 14 = 14,000…
- Pour lire plus facilement les nombres entiers, on regroupe à partir des unités les chiffres par 3 : 25897456 s’écrira plutôt 25 897 456.
, où le
numérateur a est un entier et le
dénominateur b est un multiple de 10
(10, 100, 1 000, etc.).
Le nombre de zéros au dénominateur correspond au nombre de décimales du nombre :
- Si le nombre a un seul chiffre après la virgule, le dénominateur de sa fraction décimale est égal à 10.
- Si le nombre a deux chiffres après la virgule, le dénominateur de sa fraction décimale est égal à 100.
Représentation fractionnaire du nombre décimal 15,3
15,3 possède un seul chiffre après la virgule, le dénominateur est égal à 10.
Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont toujours des nombres entiers. Si l’un de ses nombres n'est pas un nombre entier, on l’appelle alors écriture fractionnaire.
L'écriture scientifique est une forme d'écriture des nombres très petits ou très grands. Elle permet de raccourcir l'écriture de ces nombres. Elle est très utilisée dans des sciences comme l'astronomie ou la chimie.
.
avec a un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 ; et n un nombre entier relatif.
Cette écriture permet d'avoir une idée de la grandeur d'un nombre sans avoir à compter tous ses zéros.
1 852 = 1,852 × 103
245,6 = 2,456 × 102
Les calculatrices sont capables d’afficher
10 chiffres. Pour les valeurs qui dépassent
cette limite, la calculatrice utilise la notation
scientifique. Elles expriment le nombre sous la
forme 
.
Il est possible aussi de choisir le mode d'affichage « notation scientifique » symbolisé « sci ». Il faut le définir dans le « MODE » ou le « SET UP » suivant la marque de la calculatrice (voir le mode d'emploi de la calculatrice).
Quand la calculatrice est en notation scientifique, il faut écrire le nombre décimal et taper « exécuter » (ou son équivalent). Le nombre décimal apparait alors en écriture scientifique.
Écrire le nombre décimal 41,23 sous forme de fraction décimale.
- Écrire le décimal sous forme
d'écriture fractionnaire.
Pour cela, il faut mettre une barre de fraction sous le nombre décimal et positionner « 1 » en dénominateur.
- Obtenir une fraction avec un nombre entier au
numérateur. Pour cela, il faut compter les
chiffres après la virgule et multiplier le
numérateur et le dénominateur par un
multiple de 10.
RappelsPour le nombre 41,23, il y a deux chiffres après la virgule (23). Il faut donc multiplier par 100 le numérateur et le dénominateur :- Si le nombre décimal a un seul chiffre après la virgule, le dénominateur est égal à 10.
- Si le nombre décimal a deux chiffres après la virgule, le dénominateur est égal à 100.
La fraction décimale du nombre 41,23 est
.
Écrire le nombre décimal 415,23 sous forme de notation scientifique
.
- Écrire le nombre décimal en
positionnant la virgule juste après le premier
chiffre.
Le nombre décimal a donc deux virgules, « l'ancienne » virgule (entre le 5 et le 2) qui correspond à la virgule du nombre décimal, et la « nouvelle » virgule (entre le 4 et le 1) qui correspond à la future virgule du nombre sous forme de notation scientifique. - Compter le nombre de chiffres entre les deux
virgules. Il correspond à la
puissance n.
On trouve n = 2. - Enlever « l'ancienne »
virgule, ce nombre correspond
à a.
a = 4,1523
Puis positionner, après a, le symbole « × » suivi de 10n en remplaçant n par sa valeur.
= 4,1523 × 102
- Valider le résultat en le
vérifiant.
Première vérification : 1 ≤ a < 10. Sinon, c'est que la virgule a été mal positionnée à l'étape 1.
1 ≤ 4,1523 < 10 → Validé.
Seconde vérification : la multiplication par la puissance de 10 permet de retrouver le nombre décimal.
4,1523 × 102 = 415,23 → Validé.
L'écriture scientifique de 415,23 est 4,1523 × 102.
Si le nombre décimal est inférieur à 1, la méthodologie est identique mais la puissance devient négative.
Écrire le nombre décimal 0,00289 sous forme de notation scientifique.
- Écrire le nombre décimal en positionnant la virgule juste après le premier chiffre. 0,00289 → 0,002,89
- Compter le nombre de chiffres entre les deux
virgules pour trouver la puissance n.
n = 3 (002).
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