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Les formules de distributivité

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Objectifs :

La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction permet de simplifier certains calculs.
Quelles sont les formules de distributivité ? Comment développe-t-on ou factorise-t-on une expression ?

1. Introduction géométrique

Découvrons une des formules de distributivité en calculant l’aire du rectangle ACDF de deux manières différentes :

1^remanière
Aire(ACDF) = AF × AC = k × (a + b)

2^èmemanière
Aire(ACDF) = Aire(ABEF) + Aire(BCDE) = AF × AB + AF × BC = k × a + k × b.
On a donc :
k × (a + b) = k × a + k × b.

2. Formules de distributivité

D’après ce qui précède, et en généralisant à la soustraction, on obtient les formules de distributivité suivantes :
k × (a + b) = k × a + k × b ; écriture simplifiée : k(a + b) = ka + kb.
k × (a − b) = k × a − k × b ; écriture simplifiée : k(a − b) = ka − kb.

a. Développement

Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.

Dans le cas des formules de distributivité, on a :
• k × (a + b) = k × a + k × b.
• k × (a − b) = k × a − k × b.

On a transformé le produit de k par (a + b) (respectivement (a − b)) en une somme (respectivement une différence).
On dit que l’on a développé k × (a + b) et k × (a − b).

Exemples
• Développer l’expression 3(x + 7).
D’après les formules de distributivité, on a : 3(x + 7) = 3x + 3 × 7 = 3x + 21.

• Développer 5(2x − 8).
D’après les formules de distributivité, on a : 5(2x − 8) = 5 × 2x − 5 × 8 = 10x – 40.

b. Factorisation

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.

En effectuant une lecture de droite vers la gauche des formules de distributivité, on a :
• k × a + k × b = k × (a + b).
• k × a − k × b = k × (a − b).

On dit que l’on a factorisé l’expression par k (produit de deux facteurs).

Exemples
• Factoriser par x l’expression 2x + 7x.
2x + 7x = x(2 + 7) = 9x.
Dans ce cas, la factorisation sert à simplifier l’expression.

• Simplifier l’expression 7a + 3b – 5a + 4b, en factorisant.
7a + 3b – 5a + 4b = 7a – 5a + 3b + 4b = a(7 – 5) + b(3 + 4) = 2a + 7b.

c. Applications au calcul mental

• Forme développée
Calculons mentalement 15 × 99.

On remarque que :
99 = 100 – 1. On écrit donc :
15 × 99 = 15 × (100 − 1). On distribue alors 15 :
15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 – 15 = 1 485.

• Forme factorisée
Calculons mentalement 13,8 × 7,5 + 13,8 × 2,5.

On remarque que l’on peut factoriser par 13,8 :
13,8 × 7,5 + 13,8 × 2,5 = 13,8 × (7,5 + 2,5). On effectue alors le calcul entre parenthèses en premier :
13,8 × (7,5 + 2,5) = 13,8 × 10 = 138.

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