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Les fonctions racine carrée et valeur absolue

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Objectif

Aux fonctions carrées et inverses vues en seconde viennent s’ajouter deux autres fonctions de référence : la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue.

1. La fonction racine carrée

Définition :

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur

par

a. Sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur

Autrement dit, plus x augmente, plus sa racine carrée augmente.

Preuve :

Considérons 2 réels a et b de

tels que

et comparons

en étudiant le signe de la différence

en multipliant en haut et en bas par

qui est non nul

Ainsi,

donc

d'où

c'est à dire

.

Ce qui prouve que la fonction racine carrée est croissante (voire strictement croissante) sur

b. Courbe représentative

Remarque :
On reconnaît ici une « demi-parabole ». En effet,

équivaut à dire que

avec

2. La fonction valeur absolue

Définition :

Étant donné un réel x, la valeur absolue de x vaut
• x si

• (–x) si

La valeur absolue de x se note

. C’est un réel toujours positif.

La fonction valeur absolue est la fonction définie sur

par

a. Sens de variation

La fonction valeur absolue est croissante sur

et décroissante sur

Preuve :

Rappelons que

lorsque

Il s'agit bien d'une seule fonction mais qui prend 2 expressions différentes suivant les valeurs de x.

Or

est une fonction affine, croissante sur

donc sur

est une fonction affine, décroissante sur

donc sur

Lien entre la valeur absolue et la racine carrée :

Pour tout x réel,

c’est-à-dire

pour

Un petit exemple pour comprendre la nécessité de prendre la valeur absolue de x :

b. Courbe représentative

3. Comparaison des fonctions de références

Comparaison de x, x²,

, pour

Pour tout

Preuve :

Comparons dans un premier temps x et x² pour

.
Pour comparer deux nombres, une méthode consiste à étudier le signe de la différence.
Or

.

Comme

, alors

pour

Ainsi,

pour

.

Maintenant, comparons

et x.

Pour cela, nous allons utiliser le résultat précédent et le fait que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs.

Pour

, donc

, d'où

(

lorsque

).
Pour

donc

, d'où

.

Interprétation graphique :

Sur

la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation y = x² et en dessous de la courbe d’équation

.

Sur

la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation

et en dessous de la courbe d’équation y = x² .

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