Les fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
- Connaitre les représentations graphiques des
fonctions polynômes du type
(cas
général), 
et 
(cas particuliers).
- Connaitre l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
- Une fonction polynôme du second degré est
une fonction
définie sur R par
,
avec a un réel non nul, b et c
deux réels.
- Sa représentation graphique est une parabole
dont les branches sont tournées vers le haut
lorsque
et vers le bas lorsque 
.
- Le sommet S de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse
.
- La parabole admet un axe de symétrie vertical
d'équation .
- Dans le cas particulier où b = 0 et c = 0, c'est-à-dire
où l'on a :
- la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère ;
- le sommet de la parabole est le point O(0 ; 0).
- Dans le cas particulier où c = 0, c'est-à-dire
où l'on a ,
la parabole est la même que celle de la
fonction
mais
« décalée » vers le
haut ou vers le bas en fonction de la valeur de
b.
- Fonction impaire
- Images, antécédents
- Fonction carré
- Représentation graphique d'une fonction
Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.
, avec
a un réel non nul, b et c
deux réels.
- La fonction f définie
par
est une fonction du second degré. On
identifie les coefficients : 
.
- La fonction g définie
par
est une fonction du second
degré. On identifie les
coefficients : 
.
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme
. La
forme est la forme
factorisée.
La parabole a pour équation
, avec a un réel non nul,
b et c deux réels.
dépend du signe de
a :
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le haut ;
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le bas.
, alors que lorsqu'on est négatif, on fait la
moue 
.
.
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
.Ici
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |
.Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
. Ici 
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que 
.
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).
.
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse
. L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.
Reprenons l'exemple 1 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
admet un axe de symétrie
vertical d'équation 
.
Reprenons l'exemple 2 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
admet un axe de symétrie
vertical d'équation 
.
Parmi les fonctions polynômes du second
degré, on considère celles du
type 
.
Pour tout réel x, on a f(–x) =
a 
(–x)2 =
ax2 =
f(x). La
fonction f
est donc paire.
est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées du repère.
On a vu au paragraphe précédent que
le sommet S d'une
parabole d'équation était le point de la parabole
d'abscisse . Ici, comme b = 0, le sommet S de la
parabole a pour abscisse 
. et pour ordonnée 
.
Soit f(x) = 0,2x2. On peut dresser un tableau de valeurs de f :
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 1,8 | 0,8 | 0,2 | 0 | 0,2 | 0,8 | 1,8 |
puis, placer les points de coordonnées
(x ; f(x))
dans un repère et enfin, tracer la courbe
passant par ces points :
. La courbe
représentative d’une fonction du
type 
est la même que celle de la
fonction mais « décalée
» vers le haut ou vers le bas en fonction de la
valeur de b.
Reprenons la fonction f(x) = 0,2x3 de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x2 + 2 et h(x) = 0,2x2 – 3. Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :
On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).
On peut donner les variations d'une fonction du second degré par son tableau de variation.
Lorsque 
(positif), on obtient le tableau de variation
suivant :
La valeur en laquelle le minimum est atteint
est 
. Le minimum vaut 
.
On reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation :
On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet :
.
Lorsque 
(négatif), on obtient le tableau de
variation suivant :
La valeur en laquelle le maximum est atteint
est 
. Le maximum vaut 
.
On reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation :
On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet :
Il existe des fonctions maximum et minimum en mode graphique sur la calculatrice, mais ce n'est qu'une valeur approchée.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Factoriser grâce aux racines évidentes - Première techno - Mathématiques
Mathématiques
Calculer avec des fractions
Mathématiques
Comparer des fractions
Mathématiques
La perspective cavalière
Mathématiques
Les sections planes de solides
Mathématiques
Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes
Mathématiques
Simulation d'une expérience aléatoire et fluctuation de l'échantillonnage
Mathématiques
L'espérance d'une variable aléatoire
Mathématiques
Puissances de 10 et notation scientifique- Première- Mathématiques
Mathématiques
Résoudre une équation comportant un carré
Fermer
Accédez gratuitement à
