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Les divisions décimales

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Objectifs

Afin d’obtenir le quotient de deux nombres de manière plus précise que la division euclidienne, on effectue la division décimale.
Comment effectuer la division décimale d’un nombre décimal par un entier ? Comment en donner une valeur approchée ?

1. Division décimale

La division décimale d’un nombre a (dividende) par un nombre entier non nul b (diviseur) permet de calculer le quotient exact ou une valeur approchée de a par b.

Exemple

La division ci-dessus peut se noter aussi sous sa forme fractionnaire :

2. Quotient exact d'une division décimale

Exemple 1
Effectuer la division décimale de 65,4 par 15.

6 est trop petit pour contenir 15, on choisit donc les deux premiers chiffres de 654.

Dans 65, il y a 4 fois 15 et 4 × 15 = 60.

On soustrait donc 60 à 65, il reste 5.

On abaisse alors le 4 et on ajoute une virgule au quotient car le 4 est le chiffre des dixième (après la virgule).

Dans 54, il y a 3 fois 15 et 3 × 15 = 45.

On soustrait 45 à 54 et il reste 9.

Dans 90, il y a 6 fois 15 et 6 × 15 = 90.

On soustrait 90 à 90 et il reste 0.

Dans ce cas, on dit que la division « tombe juste » car le reste est nul.

3. Valeurs approchées d'une division décimale

Exemple 2
Effectuer la division décimale de 3,47 par 6.

On applique la technique opératoire précédente :

Remarques
• Au départ 3 est trop petit pour contenir 6, mais à la différence de l'exemple 1, on ne peut prendre deux chiffres car il y a une virgule.
• On peut abaisser autant de zéros que l'on veut pour continuer la division.

La division ne s’arrête jamais. On dit que la division « ne tombe pas juste ». On ne peut donc pas exprimer le quotient de 3,47 par 6 sous la forme d’un nombre décimal. On est donc obligé d’en donner une valeur approchée :
3,47 ÷ 6 = 0,578 333 333…

• Une valeur approchée de ce quotient au dixième par défaut est 0,5.
• Une valeur approchée de ce quotient au dixième par excès est 0,6 car 0,5 < 0,578 333 < 0,6.
• Une valeur approchée de ce quotient au centième par défaut est 0,57.
• Une valeur approchée de ce quotient au centième par excès est 0,58 car 0,57 < 0,578 333 < 0,58.

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