Fiche de cours

Les différents raisonnements mathématiques- Seconde- Mathématiques

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Reconnaitre les différents types de raisonnement.
Savoir quel type de raisonnement utiliser dans telle ou telle situation.

Points clés

Disjonction de cas : On vérifie notre propriété en testant différents cas et on montre que tous les cas aboutissent au même résultat.
Raisonnement par l’absurde : On part du principe que la propriété est vrai et on montre qu’on arrive à quelque chose d’absurde ou d’incohérent.
Contre exemple : On trouve une situation dans laquelle notre propriété ne marche pas.

Pour bien comprendre

Reconnaitre des implications et équivalences.
Déterminer et reconnaitre les négations d’affirmation.

1. Le raisonnement par disjonction de cas

Pour prouver qu’une affirmation est vraie

Pour prouver qu’une affirmation P est vraie, il est parfois nécessaire de tester si l’affirmation est vraie lorsque l’on différencie les cas.

Exemple
Montrer que quelque soit

∈

est un nombre entier.
Pour cela on utilise une disjonction de cas :

Nous allons d’abord tester notre affirmation pour un nombre pair.
On a donc avec k∈.
Dans ce cas, or est un nombre entier car . L’affirmation est donc vérifiée si est pair.
Nous testons ensuite notre affirmation pour un nombre impair.
On a donc avec k∈.
Dans ce cas, or est un nombre entier car . L’affirmation est donc vérifiée si est impair.

L’affirmation est vraie pour pair et pour impair. L’affirmation est donc vérifiée quelque soit .

Exemple non mathématique
Partons du principe que sur Mars il existe deux types de martiens avec un comportement très différent. Les martiens verts et les martiens rouges.
Pour vérifier l’affirmation P suivante : « Les martiens sont tous accueillants », on va faire une disjonction de cas.
Nous allons d’abord vérifier si les martiens verts sont accueillants.
Ensuite, nous vérifierons que les martiens rouges sont également accueillants.
Si les deux conditions sont vérifiées alors nous allons conclure que l’affirmation P est vraie.

2. Le raisonnement par l'absurde

Pour prouver qu’une affirmation est fausse

Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, on part du principe que cette propriété est vraie. On arrive alors à une incohérence ou une absurdité qui nous prouve que l’affirmation P ne peut pas être vraie et s’avère donc fausse.

Exemple
Prouvons que

est un nombre irrationnel.
Partons du principe que

est un nombre rationnel. C’est-à-dire qu’il est possible de l’écrire sous forme de fraction :

avec

deux nombres entiers relatifs, premiers entre eux.

. Cela veut dire que

est pair et donc que

est pair. C’est-à-dire que

On a donc :

Cela veut dire que

est pair donc que

est pair.
Or, dans notre hypothèse de départ, nous avons choisi

tels qu’ils soient premiers entre eux. Si tous les deux sont pairs, ils ne sont pas premiers entre eux et nous arrivons à une incohérence.
On en conclut donc, à la suite de notre raisonnement par l’absurde, que

n’est pas un nombre rationnel et qu’il est donc irrationnel.

Exemple non mathématique
Démontrons par l’absurde que « Les pommes ne poussent pas sur des poiriers ».
Pour cela on considère la proposition suivante comme vraie « Les pommes poussent sur des poiriers ». Or les fruits qui poussent sur des poiriers sont des poires donc puisque les pommes poussent sur des poiriers, ce sont des poires. C’est une absurdité.
On peut donc conclure que les pommes ne poussent pas sur des poiriers.

3. Contre exemple

Pour prouver qu’une affirmation est fausse

Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, il peut nous suffire de trouver un exemple pour lequel l’affirmation est fausse.

Exemple
Prenons l’affirmation « Le carré d’un nombre n est toujours pair ».
Prenons n=3. n² = 9 or 9 est impair donc l’affirmation est fausse.

Exemple non mathématique
Pour démontrer que l’affirmation « Les martiens bleus sont gentils » est fausse, il nous suffit de trouver un martien bleu qui n’est pas gentil.

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