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Les coordonnées d'un vecteur

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Objectifs

Connaitre la signification d’une base orthonormée, d’un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée.
Déterminer les coordonnées d’un vecteur égal à un autre vecteur.
Calculer la norme d’un vecteur.
Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs.
Calculer les coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre réel.

Points clés

Dire que le vecteur a pour coordonnées x et y dans la base orthonormée (, ) veut dire que .
Pour indiquer les coordonnées du vecteur , on utilise la notation ou .
On considère deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B). Le vecteur a pour coordonnées (x_B – x_A ; y_B – y_A ).
Soient (x ; y) et (x' ; y') deux vecteurs du plan muni d’une base orthonormée (, ).
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Autrement dit, .
Soit
On considère deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors .
On peut ainsi écrire .
Dans un plan muni d'une base, si et alors le vecteur a pour coordonnées .
Dans un plan muni d'une base, si est un nombre réel alors le vecteur a pour coordonnées .

Pour bien comprendre

Caractéristiques d'un vecteur
Somme de deux vecteurs
Produit d'un vecteur par un réel

1. Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée

a. Base et repère orthonormés

Soient et deux vecteurs dont les directions sont perpendiculaires et tels que .
On peut alors dire que est une base orthonormée du plan. On peut lire les coordonnées d’un vecteur dans cette base.

Soient O un point du plan et les vecteurs et définis précédemment. On définit alors un repère orthonormé (O ; , ). On peut lire les coordonnées d’un point dans ce repère.

b. Coordonnées d'un vecteur défini par ses coordonnées

Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O ; , ), soient un vecteur donné et M le point du plan tel que . On note (x ; y) les coordonnées du point M.
On peut écrire et aussi .

Ainsi, tout vecteur du plan peut s’écrire sous la forme .

Dire que le vecteur a pour coordonnées x et y dans la base orthonormée (

) veut dire que

.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur

, on utilise la notation

Exemple
Sur le graphique ci-dessous, muni d’une base orthonormée (

), lire les coordonnées des vecteurs

D'après le graphique, on a : et .

c. Coordonnées d'un vecteur défini par ses extrémités

On considère deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B).
Le vecteur

a pour coordonnées (x_B – x_A ; y_B – y_A ).

Exemple
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ;

), on considère les points E(3 ; 4) F(–2 ; 1) et G(–4 ; 2). On souhaite calculer les coordonnées des vecteurs

(–2 – 3 ; 1 – 4) d’où

(–5 ; –3).

(–4 + 2 ; 2 – 1) d’où

(–2 ; 1).

d. Coordonnées de deux vecteurs égaux

Soient

(x ; y) et

(x' ; y') deux vecteurs du plan muni d’une base orthonormée (

).
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Autrement dit,

Exemple
On considère les vecteurs

(2 ; 3) et

(x ; y – 4) dans la base orthonormée (

). On souhaite déterminer les valeurs de x et y pour que

.
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées, donc x = 2 et y – 4 = 3, c’est-à-dire y = 7.

2. Norme d'un vecteur

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ; , ).
On peut calculer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées ou à partir des coordonnées de ses extrémités.

a. Cas d'un vecteur défini par ses coordonnées

Soit

Exemple
Dans un repère orthonormé

, soit le vecteur

. On peut calculer la norme de ce vecteur :

b. Cas d'un vecteur défini par ses extrémités

On considère deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors

.
On peut ainsi écrire

Exemple
Dans un repère orthonormé

, on considère les points E(3 ; 4), F(–2 ; 1) et G(–4 ; 2). On souhaite calculer la norme des vecteurs

3. Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un nombre réel

a. Coordonnées de la somme de deux vecteurs

Dans un plan muni d'une base, si

alors le vecteur

a pour coordonnées

Exemple
Dans un plan muni d'une base, si

alors

b. Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel

Dans un plan muni d'une base, si

est un nombre réel alors le vecteur

a pour coordonnées

Exemple
Le plan étant muni d'une base, soient

Calculer les coordonnées du vecteur

Comme

D'où :

Soit

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