Fiche de cours

Les configurations du plan

Lycée > Seconde > Mathématiques > Les configurations du plan

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des longueurs : symétrie axiale, symétrie centrale, médiatrice d'un segment, théorème de Pythagore, théorème de Thalès.
Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des angles : symétrie axiale, symétrie centrale, vocabulaire sur les angles.
Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des aires : symétrie axiale, symétrie centrale.

Points clés

La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.
Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Théorème de Thalès : soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés.
On suppose que tous ces points sont distincts deux à deux.

Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a .

Pour bien comprendre

Connaitre les bases de la symétrie axiale et centrale

1. Symétrie

a. Symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent en pliant suivant cette droite. Cette droite est appelée axe de symétrie.

Propriété
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.

Exemple

Sur la figure ci-dessus,

A’ est le symétrique de A, B’ est le symétrique de B,
donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
Comme la symétrie axiale conserve les longueurs,
alors A’B’ = AB = 4,7.
C’ est le symétrique de C, D’ est le symétrique de D, E’ est le symétrique de E,
donc est le symétrique de .
Comme la symétrie axiale conserve les angles,
alors .
Les figures ABCDE et A’B’C’D’E’ sont symétriques par rapport à la droite (d).
Comme la symétrie axiale conserve les aires,
alors .

b. Symétrie centrale

Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent en effectuant un demi-tour autour de ce point. Ce point est appelée centre de symétrie.

Propriété
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.

Exemple

Sur la figure ci-dessus,

A’ est le symétrique de A, B’ est le symétrique de B,
donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
Comme la symétrie centrale conserve les longueurs,
alors A’B’ = AB = 5.
C’ est le symétrique de C, D’ est le symétrique de D, E’ est le symétrique de E,
donc est le symétrique de .
Comme la symétrie centrale conserve les angles,
alors .
Les figures ABCDE et A’B’C’D’E’ sont symétriques par rapport au point O.
Comme la symétrie centrale conserve les aires,
alors .

2. Médiatrice d'un segment

La médiatrice d’un segment est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.

Propriété
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

Exemple

Sur la figure ci-dessus,

Comme la droite (d) coupe le segment [AB] perpendiculairement en son milieu, alors (d) est la médiatrice de [AB].
Comme le point M appartient à la médiatrice du segment [AB], alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Donc MA = MB.

3. Angles

a. Angles complémentaires et angles supplémentaires

Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.

b. Angles opposés par le sommet, angles alternes-internes et correspondants

Dans le plan, soient deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (a).

Les angles A₁ et A₂ sont opposés par le sommet (ainsi que les angles A₃ et A₄).
Les angles A₁ et A₃ sont correspondants pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a) (ainsi que les angles A₂ et A₄).
Les angles A₁ et A₄ sont alternes-internes pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a).

Propriétés

Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

4. Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Sur la figure ci-dessous, a² = b² + c².

Application
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.

Exemple 1
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur BC (arrondie au mm).

Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
BC² = 3,4² + 6,7²
BC² = 11,56 + 44,89
BC² = 56,45
BC =

cm (valeur exacte)
BC

7,5 cm (valeur arrondie au mm)

Exemple 2
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur AB (arrondie au mm).

Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
7,72² = 3,12² + AB²
59,5984 = 9,7344 + AB²
AB² = 59,5984 – 9,7344
AB² = 49,864
AB =

m (valeur exacte)
BC

7,06 m (valeur arrondie au cm)

5. Théorème de Thalès

Théorème de Thalès
Soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés.
On suppose que tous ces points sont distincts deux à deux.

Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a

Deux cas de figures sont possibles selon que A est, ou non, entre les points B et C.


Figure 1	Figure 2

Application
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs sur une figure comportant des droites parallèles.

Exemple
Sur la figure ci-dessous, les droites (IJ) et (ED) sont parallèles.
On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.

Les points A, I et D sont alignés. Les points A, J et E sont alignés. Les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui s’exprime ici par :

On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc les deux premiers rapports .
En remplaçant, on obtient :

D’où AI = (arrondi au dixième).

Évalue ce cours !

Note 3 / 5. Nombre de vote(s) : 2

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT