Les calculs de probabilités dans un arbre et dans un tableau
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- Quiz et exercices
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- Représenter une expérience aléatoire par un arbre des possibles.
- Représenter une expérience aléatoire par un tableau.
- Exploiter un arbre ou un tableau pour calculer des probabilités.
- Un arbre des possibles permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile lorsque l’expérience est composée de plusieurs épreuves successives.
- Pour calculer des probabilités à partir d’un arbre des possibles, on peut pondérer chacun de ses segments par la probabilité associée. On parle alors d’arbre pondéré.
- Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin correspondant.
- Un tableau à double entrée permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves successives. On ne peut l’utiliser que lorsqu’il y a équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les issues possibles d’une expérience ont la même probabilité.
Vocabulaire des probabilités
Un arbre des possibles permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile lorsque l’expérience est composée de plusieurs épreuves successives.
Une urne contient une boule rouge, une boule noire et une boule verte. Un sac contient une boule blanche et une boule jaune.
L’expérience consiste à tirer au hasard une boule de l’urne (1re épreuve) puis à tirer une boule du sac (2e épreuve). Indiquer à l’aide d’un arbre des possibles tous les issues réalisables dans cette expérience aléatoire.
Par la suite, on désignera par R la boule rouge, par N la boule noire, par V la boule verte, par B la boule blanche et par J la boule jaune. On obtient l’arbre suivant :
Chaque chemin de l’arbre (constituée de deux segments ici, de la gauche vers la droite) correspond à l’une des issues de l’expérience aléatoire. Par exemple, en tirant une boule rouge de l’urne (1re épreuve) puis une boule blanche du sac (2e épreuve), on obtient l’issue « une boule rouge puis une boule blanche » (notée ici « R puis B »).
On observe qu’il y a en tout 6 issues possibles à cette expérience.
Pour construire l’arbre des possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves, il faut suivre quelques règles pour que l’arbre soit bien lisible :
- partir d’un point situé à gauche de la feuille ;
- à droite de ce point, placer verticalement les issues de la 1re épreuve les unes en dessous des autres ;
- relier le point de départ aux différentes issues de la 1re épreuve par des segments ;
- à droite de la 1re épreuve, placer les issues de la 2e épreuve, les unes en dessous des autres ;
- relier ces issues à celles de la 1re épreuve par des segments.
Conseil
Il faut réfléchir à la place
nécessaire pour construire l’arbre avant
de le commencer !
Si l’expérience aléatoire est constituée de plus de deux épreuves, il faut répéter les étapes 4 et 5 de la méthode autant de fois qu’il y a d’épreuves.
Pour calculer des probabilités à partir d’un arbre des possibles, on peut pondérer chacun de ses segments par la probabilité associée. On parle alors d’arbre pondéré.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin correspondant.
Une expérience consiste à :
- tourner d’abord la roue 1 non truquée : on obtient alors la couleur rouge ou la couleur bleue ;
- tourner ensuite la roue 2 non truquée : on obtient alors la couleur grise, la couleur jaune ou la couleur verte.
Déterminer la probabilité de chacune
des issues possibles de cette expérience.
Pour cela, on peut construire l’arbre des
possibles et le compléter avec les
probabilités associées.
- Sur la première roue, il y a deux issues
possibles : « rouge » ou
« bleu ». La probabilité
de tomber sur la zone rouge vaut
et la
probabilité de tomber sur la zone bleue vaut
.
- Sur la deuxième roue, il y a trois issues
possibles :
« jaune », « gris
» ou « vert ». La
probabilité de tomber sur la zone jaune
vaut
; celle de
tomber sur la zone grise vaut 
; celle de tomber
sur la zone verte vaut 
.
Ainsi, on obtient l’arbre pondéré
ci-dessous :
À partir de l’arbre, on calcule par
exemple la probabilité d’obtenir
(« R puis
G ») : 
.
Un tableau à double entrée permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves successives. On ne peut l’utiliser que lorsqu’il y a équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les issues possibles d’une expérience ont la même probabilité.
On lance deux dés équilibrés et on relève les résultats. Le tableau suivant permet de représenter les issues de cette expérience aléatoire.
| Dé1/dé2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | (1 ; 1) | (1 ; 2) | (1 ; 3) | (1 ; 4) | (1 ; 5) | (1 ; 6) |
| 2 | (2 ; 1) | (2 ; 2) | (2 ; 3) | (2 ; 4) | (2 ; 5) | (2 ; 6) |
| 3 | (3 ; 1) | (3 ; 2) | (3 ; 3) | (3 ; 4) | (3 ; 5) | (3 ; 6) |
| 4 | (4 ; 1) | (4 ; 2) | (4 ; 3) | (4 ; 4) | (4 ; 5) | (4 ; 6) |
| 5 | (5 ; 1) | (5 ; 2) | (5 ; 3) | (5 ; 4) | (5 ; 5) | (5 ; 6) |
| 6 | (6 ; 1) | (6 ; 2) | (6 ; 3) | (6 ; 4) | (6 ; 5) | (6 ; 6) |
Chaque case blanche du tableau représente une de ces issues.
Reprenons l’exemple précédent du lancer de deux dés équilibrés.
On a déjà constaté que cette expérience comportait 36 issues.
Comme les dés sont équilibrés, on est en situation d’équiprobabilité et la probabilité d’une issue vaut
.Pour connaitre la probabilité de l’évènement « une des deux faces obtenues porte le nombre 1 », on compte le nombre d’issues qui contiennent 1. Il y en a 11, la probabilité cherchée vaut donc
.
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