Le vocabulaire de la logique- Première- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Utiliser les connecteurs logiques « et », « ou » et la négation « non ».
- Reconnaitre et utiliser les symboles logiques.
- Reconnaitre et utiliser les symboles des quantificateurs.
- Connecteurs logiques :
- Et : remplir les deux conditions.
- Ou : Remplir une des conditions.
- Non : Condition inverse.
- Implication : P⇒Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie.
- Équivalence : P⇔Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie et si Q est vraie alors P est vraie.
- Vocabulaire et symbole :
- ∀ signifie « quel que soit ».
- ∃ signifie « il existe ».
Avoir des notions en géométrie plane pour bien comprendre les exemples.
Une proposition « P ou Q » est vraie si P est vérifiée ou si Q vérifiée.
P : « Ses côtés opposés sont égaux »
Q : « Ses côtés opposés sont parallèles »
Un quadrilatère est un parallélogramme si « P ou Q » , c’est-à-dire si ses côtés opposés sont égaux ou si ses côtés opposés sont parallèles.
Une proposition « P ou Q » est fausse lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.
Une proposition « P et Q » est vraie si à la fois P et Q sont vérifiées.
P : « Ses quatre côtés sont égaux »
Q : « Ses diagonales sont de même longueur »
Un quadrilatère est un carré si « P et Q » , c’est-à-dire si ses quatre côtés sont égaux et si ses diagonales sont de même longueur.
Une proposition « P et Q » est fausse lorsque P ou Q est fausse.
La proposition « non P » est vraie lorsque la proposition P est fausse.
Une proposition « non P » est fausse lorsque P est vraie.
P : « Le triangle est rectangle »
Non P : « Le triangle n’est pas rectangle »
P implique Q (noté « P ⇒
Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q
est vraie.
Si la proposition Q est vraie, cela n’implique pas toujours Q ⇒ P.
P : « L’individu choisi est un parisien »
Q : « L’individu choisi est un français »
P ⇒ Q : Si l’individu choisi est un parisien alors il est français.
Par contre, Q ⇏ P : Si l’individu choisi est français, il n’est pas forcément parisien.
P est équivalent à Q (noté
« P ⇔ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q
est vraie. (P ⇒ Q)
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P
est vraie également. (Q ⇒ P)
Dans un théorème, l’équivalence se présente sous la forme « P est vraie si et seulement si Q est vraie ».
Dans un triangle ABC,
P : « AB2 = AC2 + BC2 »
Q : « Le triangle ABC est rectangle en C »
P ⇒ Q : Si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en C
Q ⇒ P : Si le triangle ABC est rectangle alors AB2 = AC2 + BC2
P ⇒ Q et Q ⇒ P donc P ⇔ Q
P est vraie si Q est vraie c’est-à-dire P
⇒ Q.
Q est une condition nécessaire à P.
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P
est vraie également c’est-à-dire Q
⇒ P.
Q est une condition suffisante à P.
Q : « ABC est un triangle isocèle » est une condition nécessaire pour que P : « ABC est un triangle équilatéral » soit vraie.
Q est nécessaire à P.
P : « ABC est un triangle équilatéral » est une condition suffisante pour que Q : « ABC est un triangle isocèle » soit vraie.
P est suffisante à Q.
A : « Le fruit est un agrume » est une condition nécessaire pour que O : « Le fruit est une orange » soit vraie.
A est nécessaire à O.
O : « Le fruit est une orange » est une condition suffisante pour que A : « Le fruit est un agrume » soit vraie.
O est suffisante à A.
Les quantificateurs « Pour
tout » ou « Quel que
soit » sont notés par le symbole
∀ .
∀x, P
est vraie. Cela signifie que quel
que soit l’élément (d’un
l’ensemble) choisi, la propriété
est vraie.
Soit n un nombre entier,
∀n, 2n est un nombre pair.
Cela se lit : Quel que soit (ou Pour tout) n, 2n est un nombre pair.
Le quantificateur « Il
existe » est noté
∃.
∃x,
tel que P est vraie.
Cela signifie qu’il existe un
élément (d’un ensemble) qui rend la
propriété P vraie.
En écrivant ∃! cela signifie «Il existe un unique».
Soit n un nombre entier et P : « n est divisible par 3 ».
∃n, tel que P est vrai.
Cela se lit : Il existe un nombre n, tel que n est divisible par 3.
Par exemple : 9, 12, 1002,...
Soit n un nombre entier et P : « n2 = 9 ».
∃!n, tel que n2 = 9.
Cela se lit : Il existe un unique nombre entier n tel que n2 = 9.
C’est n = 3.
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