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Le triangle rectangle : Théorème de Pythagore, cercle circonscrit

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Objectifs :

Comment calculer la longueur d’un côté du triangle rectangle avec le théorème de Pythagore ?
Comment savoir si un triangle est rectangle ou pas ?
Que peut-on dire de la médiane issue de l’angle droit d’un triangle rectangle ?
Quelle relation y-a-t-il entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit ?
Telles sont les questions que nous allons traiter dans cette fiche.

1. Le théorème de Pythagore et sa réciproque

a. Comment calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle : le théorème de Pythagore

Théorème
Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle.

Exemple : Soit le triangle ABC rectangle en C. On donne AC = 5 cm et AB = 8 cm. Calculer BC.

Réponse
Le triangle ABC étant rectangle en C, on peut utiliser le théorème de Pythagore qui donne :

AB² = AC² + BC²
8² = 5² + BC²
D’où 64 = 25 + BC²
donc BC² = 64 - 25 = 39

Comme une longueur est positive, on a :

BC=

(arrondi au centième).

b. Comment savoir si un triangle est rectangle ou non : la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Contraposée du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

Exemple : Le triangle EFG tel que EF = 7 cm, EG = 8 cm et FG = 4 cm est-il rectangle ?

EG² = 8² = 64
EF² + FG² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
EG²

EF² + FG²

Or, on sait que si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.

Le triangle EFG n’est pas rectangle.

2. Triangle rectangle et médiane

Propriété
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Soit le triangle IJK rectangle en K. On note P le milieu de [IJ]. On donne IJ = 7 cm. Calculer PK.

Le triangle IJK étant rectangle en K, on sait que la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

PK =

Propriété réciproque
Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.

Exemple : Le triangle UPR est-il rectangle ?

Comme IR = UI = IP = 5 cm, la médiane issue de R a une longueur égale à la moitié de la longueur de son côté opposé PU alors :

le triangle UPR est rectangle en R.

3. Cercle circonscrit au triangle rectangle

Propriété
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Propriété réciproque
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.

En déplaçant le point C, on peut s'apercevoir que quelle que soit la position de C sur le cercle, le triangle est toujours rectangle avec [AB] hypoténuse du triangle ABC et diamètre du cercle circonscrit.

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