Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone
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Savoir montrer qu’une équation admet une ou plusieurs solutions sur un intervalle.
- Soit f une
fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels
de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f(c) = k.
Autrement dit, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b]. - Soit f une
fonction continue sur un intervalle I.
Soit a
et b deux
réels de I et k un nombre compris
entre f(a) et f(b). De plus, on suppose
que f est
strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Autrement dit, l'équation f(x) = k admet une unique solution dans l'intervalle [a ; b]. - Le tableur de la calculatrice permet d’obtenir un encadrement de la (ou des) solution(s).
- Étudier les variations d’une fonction.
- Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f(c) = k.
Autrement dit, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].
L'équation x3– x + 3 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [–2 ; 0].
En effet, posons
. Comme tout
polynôme, f est une fonction continue.
De plus, 
et
.
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [–2 ; 0].
On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation
coupe l'axe des abscisses
en un point sur l'intervalle
[–2 ; 0].
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux réels de I et k un nombre compris entre f(a) et f(b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Autrement dit, l'équation f(x) = k admet une unique solution comprise dans l'intervalle [a ; b].
- Il y a deux ajouts par rapport au théorème des valeurs intermédiaires. D'abord la stricte monotonie de f. Cela signifie que f est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur I. Ensuite, l'unicité de la solution.
- Le théorème se
généralise au cas où
f est
continue et strictement monotone sur un intervalle
]a ; b[,
et où les limites de f aux bornes sont des
infinis de signes contraires (
et 
). On peut adapter le
théorème des valeurs
intermédiaires et cette
généralisation aux cas [a ; b[
et ]a ; b].
On donne le tableau de variations d'une fonction g définie et continue sur [2 ; 10].
Ce tableau de variations permet de dire que :
- la fonction g est continue et est strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10] ;
- g(2) = –1 et g(10) = 5
- 0 ∈ [–1 ; 5]
Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [2 ; 10].
Soit f la fonction définie sur
par f(x) = x3 + 3x + 4.f’(x) = 3x2+ 3.
Pour tout réel x, f’(x) > 0. Donc la fonction f est strictement croissante sur
.D’autre part, la fonction f est continue sur
car c’est une fonction
polynôme.
et 
Donc, d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 10 admet une unique solution dans
.
Une fois que l'existence de la (ou des) solution(s) de l'équation f(x) = k est établie, le tableur de la calculatrice permet d’obtenir un encadrement de cette (ces) solution(s).
Reprenons la fonction f étudiée précédemment. Cette fonction f est définie sur
par f(x) = x3 + 3x + 4.Nous avons vu que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution dans
. Notons α cette solution.
Voici le tableur d’une calculatrice :
Nous remarquons que f(1) < 10 et que
f(2) > 10, donc
1 <
α < 2.
En prenant un pas égal à 0,1, on
obtient :
f(1,2) < 10 et f(1,3) > 10, donc
1,2 < α < 1,3.
En prenant un pas égal à 0,01, on
obtient :
f(1,28) < 10 et f(1,29) > 10, donc 1,28 < α < 1,29.
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