Fiche de cours

Le produit scalaire

Lycée > Premiere > Mathématiques > Le produit scalaire

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectif(s)

Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la formule appropriée au contexte.

1. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

a. Définition

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs

.

Le produit scalaire des vecteurs

est le réel noté

défini par

Ce réel ne dépend pas du repère choisi.

Exemple :

alors

b. Propriétés immédiates

Pour tous vecteurs

réel on a :
•

(symétrie)

•

•

(distributivité).

c. Norme d'un vecteur et produit scalaire

est appelé carré scalaire de

.
Ainsi, en posant

on a l’égalité suivante :

.
(carré scalaire de

norme de

au carré longueur AB au carré).

Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :

Exemple d’utilisation :

Sachant que

, calculer

et en déduire

.
Ainsi,

d’où

d. Orthogonalité de 2 vecteurs

Propriété :
Dire que

sont orthogonaux signifie que

Exemple d’utilisation :

On considère les points

, et

.
Prouver que les vecteurs

sont orthogonaux.

c’est-à-dire

.
De même,

.
Ainsi,

.
Nous pouvons donc conclure que les vecteurs

sont orthogonaux et donc le triangle ABC est un triangle rectangle en A .

e. Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires

Soit

2 vecteurs colinéaires.

sont colinéaires de même sens

sont colinéaires de sens contraires.

Exemple d'utilisation :

ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 6 .

2. Autres expressions du produit scalaire

a. À l'aide des projections orthogonales

Propriété :
Soit

2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale de C sur (AB).
Alors

sont colinéaires de même sens

sont colinéaires de sens contraire.

Exemple d’utilisation :

ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer

.

La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].

b. À l'aide du cosinus de l'angle formé par les 2 vecteurs

Propriété :

étant 2 vecteurs non nuls,

En posant

, cette propriété s’écrit

.

Exemple d’utilisation :
Dans le triangle précédent,

L'essentiel

• Étant donnés 2 vecteurs

.

• Pour

non nuls,

.

• En choisissant

, avec projection orthogonale de C sur (AB).

• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir

sont orthogonaux équivaut à

Évalue ce cours !

Note 3.4 / 5. Nombre de vote(s) : 219

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT