Le principe fondamental de la dynamique

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec :  les forces extérieures, dont les composantes , et sont exprimées en Newton (N) m la masse du solide, en kg l’accélération du solide, dont les composantes , et sont exprimées en m·s–2

Le principe fondamental de la statique (PFS) est un cas particulier du PFD, dans lequel l’accélération est nulle.

L’équation se transforme alors, pour le PFS, en .

Exemple

En appliquant le PFD à la situation ci-dessus, on obtient l’égalité suivante :

En observant la direction des forces extérieures appliquées à la voiture, on peut en déduire qu’il y a un déséquilibre des forces et que la voiture va accélérer vers la gauche.

Le PFD permet de déterminer l’accélération d’un solide en translation, lorsque l’on connait :

• les composantes de toutes les forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
• la masse du solide.

Le PFD permet de calculer les composantes manquantes de certaines forces extérieures, lorsque l’on connait :

• les composantes des autres forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
• la masse du solide ;
• l’accélération du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que la masse de la voiture est de 1,6 tonnes et qu’elle accélère à –0,4 m·s^–2 sur l’axe .

On a également les informations suivantes sur les forces extérieures :

• 
• 
• 

On peut donc déterminer les composantes de la force

• D’après le PFD, on a sur  :

  

  Soit :
  

• D’après le PFD, on a sur  :

  

  Soit :
  

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec :  les moments des forces extérieures, dont les composantes , et sont exprimées en N·m  le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation , en kg·m2  l’accélération angulaire du solide, dont les composantes , et  sont exprimées en rad·s–2

On retrouve un lien avec le principe fondamental de la statique (PFS), dans lequel l’accélération angulaire est nulle.

L’équation  se transforme alors, pour le PFS, en 

Les problèmes étudiées au lycée permettent de simplifier l’expression du PFD grâce aux deux limitations suivantes.

• Le PFD est appliqué uniquement lorsqu’un solide est en rotation autour d’un axe fixe.
• L’axe de rotation passe par le centre de gravité du solide qui se trouve sur cet axe.

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec : C les couples autour de l’axe de rotation, en N·m  le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation , en kg·m2 α l’accélération angulaire du solide autour de l’axe de rotation , en rad·s–2

Exemple

Le dessin ci-dessus présente le stator (0) d’un moteur.
Ce stator applique un couple à son rotor+axe (1), qui est solidaire d’une poulie (2). Enfin, une courroie (3) est entrainée par la poulie.

En appliquant le PFD à l’ensemble {1+2}, autour de l’axe (), on obtient l’égalité suivante : 

• Si il y a un déséquilibre entre les deux couples, il y a une accélération ou une décélération de la rotation de l’ensemble {1+2}.
• Si il y a équilibre entre les deux couples :
  • la vitesse de rotation reste constante si {1+2} est en rotation ;
  • l’ensemble reste immobile si {1+2} est statique.

Le PFD permet de déterminer l’accélération angulaire d’un solide en rotation, lorsque l’on connait :

• les valeurs des couples auxquels le solide est soumis ;
• le moment d’inertie du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m², que le couple du moteur vaut 2,15 N·m et que celui exercé par la courroie vaut –2,08 N·m.

On peut donc déterminer l’accélération angulaire de l’ensemble {1+2}.
D’après le PFD, on a autour de () : 

Soit   rad·s^–2

Le PFD permet de calculer les valeurs de certains couples, lorsque l’on connait :

• les valeurs des autres couples auxquels le solide est soumis ;
• l’accélération angulaire du solide ;
• le moment d’inertie du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m², que le couple exercé par la courroie vaut –2,08 N·m et que l’accélération angulaire de {1+2} vaut –3,75 rad·s^–2.

On peut donc déterminer le couple du moteur.
D’après le PFD, on a autour de () :

Soit :

Le moment d’inertie d’un solide, autour d’un axe, a un impact sur la capacité du solide à être mis en rotation, à être accéléré, ou à être ralenti, autour de cet axe.

Le moment d’inertie est aux mouvements de rotation, ce que la masse est aux mouvements de translation.

• Un solide avec une masse importante est plus difficile à mettre en mouvement de translation, à accélérer ou à ralentir.
• Un solide avec un moment d’inertie important est plus difficile à mettre en mouvement de rotation, à accélérer ou à ralentir.

Exemple
Le moment d’inertie d’un solide cylindrique, dont la masse est équitablement répartie dans tout son volume, tournant autour de son axe de révolution, vaudra  avec :

• m la masse du solide, en kg ;
• r le rayon du solide, en m.

Plus la forme du solide est complexe, plus le calcul de son moment d’inertie est compliquée, voire impossible. En sciences de l’ingénieur, on se limite à des formes simples (cylindres, sphères, barre) et la formule sera toujours donnée.

On étudie les deux cylindres suivants.

Il y a :

• un cylindre plein de rayon r = 3 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg ;
• un cylindre creux de rayon extérieur r_ext= 7 cm, de rayon intérieur r_int= 6 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg.

Les formules pour calculer leurs moments d’inertie sont :

•  pour le cylindre plein ;
•  pour le cylindre creux.

On obtient donc :

•  kg·m² pour le cylindre plein ;
•  kg·m² pour le cylindre creux.

Malgré une masse et une hauteur égales, le cylindre creux a donc un moment d’inertie presque 10 fois plus grand que le cylindre plein. Le cylindre creux sera donc plus difficile à mettre en mouvement de rotation que le cylindre plein.