Le pendule simple
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Il s’agit de déterminer ses caractéristiques et l’évolution de ses oscillations au cours du temps lorsqu’il est faiblement amorti ou non.
Un pendule pesant est un système oscillant constitué d'un balancier mobile autour d’un axe fixe et horizontal, ne passant pas par le centre d’inertie du système.
Exemple : le balancier d’une horloge mécanique.
Le centre d’inertie du système coïncide alors avec le centre de la sphère.
Le pendule peut osciller autour d’un axe horizontal fixe.
• La position d’équilibre stable du pendule simple coïncide avec sa position de repos ; c’est la verticale du lieu de l’expérience ;
• la position d’équilibre instable est telle que le centre d'inertie du pendule est situé au-dessus de l'axe vertical.
La période T du pendule simple
est la durée d’une oscillation
(un aller-retour autour de la position de repos).
Remarque : T dépend de la longueur l du pendule et de l’intensité de la pesanteur g (au lieu de l’expérience) mais non de la masse m de l’objet.
Recherche de l’expression de la période T grâce à l'analyse dimensionnelle :
La période dépend de la longueur l du pendule et de l’intensité de la pesanteur g.
[T] = k x [l]a x [g]b (1) (équation aux dimensions).
[l] est homogène à une longueur L et
[g] est homogène à une
accélération, c’est-à-dire à
une longueur par temps au carré :
[g] = L x T-2.
Donc (1) donne [T] = La x
Lb x T-2b = La-b x
T-2b car k est un coefficient de
proportionnalité sans dimension.
D'où a – b = 0 et - 2b =
1 c’est-à-dire a = b et b =
- 1/2.
Ainsi a = 1/2 et b = - 1/2.
Alors T = l 1/2 x g
-1/2 = (l /
g)1/2
f = 1 / T.
Exemples :
• si T = 2
s ; f = 0,5 Hz ; la longueur du pendule est
l = 1 m ;
• si T = 1 s ; f = 1 Hz ; la
longueur du pendule est alors l = 0,25
m ;
• pour doubler la fréquence, il
faut diviser la longueur de la corde
par 4.
Lorsque le pendule simple subit les frottements de l’air,
par exemple, le système est amorti.
Les oscillations sont amorties faiblement
(mouvement pseudo-périodique) ou
fortement (mouvement
apériodique).
L’amplitude des oscillations du pendule
décroît régulièrement avec le
temps.
La pseudo-période peut alors être
déterminée.
Le mouvement est alors apériodique.
Illustration animée : Pendule simple non amorti et pendule simple amorti
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