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Le mouvement des planètes et les lois de Kepler

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Objectifs

Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation.
Connaitre les trois lois de Kepler.
Établir et exploiter la troisième loi de Kepler du mouvement circulaire.

Points clés

Le mouvement du centre d’une planète autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique peut être associé à un mouvement circulaire uniforme.
Une étude dans le repère de Frenet, en appliquant la deuxième loi de Newton, permet de trouver les vecteurs accélération et vitesse.
- Le vecteur accélération est centripète et de valeur constante.
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et dépend de la masse du Soleil et de la distance entre la planète et le Soleil.
Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.
- 1^re loi : Toute planète évolue autour du Soleil sur une orbite elliptique dont le centre du Soleil est l'un des foyers.
- 2^e loi (« loi des aires ») : L'aire balayée par un segment joignant le Soleil et la planète étudiée est constante pendant une durée ∆t donnée, indépendamment de la position de la planète sur son orbite.
- 3^e loi (« loi des périodes ») : Le carré de la période T divisé par le cube du demi-grand axe de l'orbite a est une constante indépendante de la masse de la planète, et invariante d'une planète à l'autre.
Les lois de Kepler sont généralisables aux autres corps célestes en orbite autour du Soleil et permettent d'étudier un satellite autour d'une planète.

Pour bien comprendre

Force de gravitation

1. Le mouvement d'une planète autour du Soleil

Le mouvement d’une planète autour du Soleil, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, peut être assimilé à un mouvement circulaire et uniforme.

Au cours de son mouvement, la planète est soumise à une force unique : la force de gravitation exercée par le Soleil. On peut analyser son mouvement dans le repère de Frenet.

a. La force gravitationnelle

On considère deux corps massifs sphériques, de masses respectives m₁ et m₂, et dont les centres sont séparés d’une distance d.

Ces deux corps exercent l’un sur l’autre une force de gravitation de même valeur, de même direction et de sens opposés.

Forces gravitationnelles exercées
entre deux corps massifs

La valeur de la force de gravitation est la suivante.

avec :

F_1/2 et F_2/1 les valeurs des forces de gravitation des deux corps massifs, en newton (N)
m₁ et m₂ la masse de ces deux corps, en kg
d la distance entre ces deux corps, en m
G la constante de la gravitation universelle :
G = 6,67 × 10^–²⁷ N·m²·kg^–²

b. Vecteurs vitesse et accélération de la planète

On s’intéresse au mouvement du centre de masse d’une planète autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen.

On affecte à ce point toute la masse M_P de la planète et on lui applique la force de gravitation exercée par le Soleil de masse M_S. On note d la distance entre le centre de la planète et celui du Soleil.

Le vecteur accélération

On applique la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet .

L’expression du vecteur accélération est la suivante.

Le mouvement est circulaire, la distance d reste donc constante et la valeur du vecteur accélération est constante au cours du temps. Ce vecteur est centripète, ce qui signifie qu’il pointe en permanence vers le centre de la trajectoire.

Remarque
Un vecteur centrifuge est radial et pointe vers l’extérieur de la trajectoire circulaire.

Le vecteur vitesse

Dans le repère de Frenet

, le vecteur accélération

a l’expression suivante.

Le mouvement est uniforme, la dérivée par rapport au temps de la valeur de la vitesse est donc nulle ce qui nous donne :

On associe les deux expressions trouvées de l’accélération.

On obtient ainsi la valeur de la vitesse.

avec :

v la vitesse du centre de masse de la planète autour du Soleil, en m·s^–¹
d la distance entre la planète et le Soleil, en m
M_S la masse du Soleil, en kg

On constate que la vitesse est constante (ce qui confirme le mouvement uniforme) et qu’elle ne dépend pas de la masse de la planète : elle dépend uniquement de la masse du Soleil.

Le vecteur vitesse a l’expression suivante.

Vecteurs vitesse et accélération
dans le repère de Frenet

2. Les lois de Kepler

Johannes Kepler était un astronome dont les travaux ont permis d’établir les trois lois qui permettent de décrire le mouvement des planètes autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique (supposé galiléen).

Ces lois peuvent être étendues aux comètes, ainsi qu’à tout satellite du Soleil (astéroïdes, etc.). La condition est que la masse m du corps étudié soit négligeable devant celle du Soleil, ce qui est vérifié pour tout corps du système solaire, y compris Jupiter.

a. La première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, les trajectoires des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil est l’un des foyers.

Illustration de la première loi de Kepler

Remarque
Le second foyer est inoccupé.

Point mathématique - Les ellipses

Une ellipse de foyers F et F’, désigne l’ensemble des points M du plan tels que FM + MF’ = constante. Le centre O de l’ellipse est situé au milieu du segment [FF’].

On définit deux axes passant par O : l’un passe par F et F’, et l’autre est perpendiculaire au premier axe.

Les longueurs OA et OC sont égales et sont notées a, qui est le demi-grand axe de l’ellipse. On a aussi OB = OD = b, avec b qui est le demi-petit axe.

Pour un corps en orbite autour du Soleil, l’aphélie est la position de l’orbite pour laquelle la distance entre le Soleil et le corps étudié est maximale, et le périhélie est la position de l’orbite telle que cette distance soit minimale.

Remarques

Il ne faut pas confondre périhélie et aphélie avec périgée et apogée, qui sont les termes équivalents pour des satellites de la Terre.
Un cercle est une ellipse particulière pour laquelle les deux foyers F et F’ sont confondus et situés en O. Dans ce cas, on a a = b, et la relation FM + MF’ = constante devient OM = R, où R est le rayon du cercle.
Dans la réalité, les orbites des planètes du système solaire sont des ellipses qui ressemblent beaucoup à des cercles. La première loi de Kepler est également applicable aux comètes. Les orbites observées sont dans ce cas très « étirées ».

b. La deuxième loi de Kepler : la loi des aires

Le segment qui relie le centre du Soleil au centre d’une planète en mouvement balaie, pendant un temps Δt, une portion qui reste d’aire constante, quelle que soit la position de la planète.Cette loi est aussi appelée la loi des aires.

Orbite elliptique

Les aires balayées par la planète autour du Soleil
durant une durée Δt (ellipse)

Sur le schéma ci-dessus, on a représenté l’aire balayée pour deux positions distinctes, mais dans un même laps de temps Δt. La deuxième loi de Kepler se traduit par l’égalité des aires rose et verte.

Orbite circulaire

Dans le cas d’une planète qui évolue sur une orbite circulaire (ou considérée comme telle), la loi des aires implique que la distance ΔD parcourue par la planète sur son orbite est constante pendant une durée Δt, où qu’elle soit sur l’orbite.

Les aires balayées par la planète autour du Soleil
durant une durée Δt (cercle)

Cela veut dire que la valeur de la vitesse est constante. En conséquence, quand une orbite est circulaire de rayon orbital R, le mouvement orbital est uniforme.

La vitesse v a l’expression suivante.

avec :

v la vitesse d’une planète lors d’un mouvement circulaire, en m·s^–¹
R le rayon orbital entre cette planète et le Soleil, en m
T la période de révolution de cette planète (durée pour effectuer un tour complet), en s

c. La troisième loi de Kepler : la loi des périodes

Cette loi établit la relation entre deux grandeurs caractéristiques du mouvement d’une planète : sa période de révolution T, et le demi-grand axe a de son orbite.

La troisième loi de Kepler indique que le rapport du carré de la période de révolution T sur le cube du demi-grand-axe a est une constante, qui est indépendante de la masse de la planète, et qui est la même pour toute planète en orbite autour du Soleil.

avec :

T la période de révolution d’une planète, en s
a le demi-grand axe de son orbite, en m

Remarque
Cette constante dépend de la masse de l’astre autour duquel tournent les systèmes étudiés

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on peut retrouver la troisième loi de Kepler.

On élève au carré l’égalité précédente :

On retrouve bien la troisième loi de Kepler.

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