Le mouvement des planètes et les lois de Kepler
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation.
- Connaitre les trois lois de Kepler.
- Établir et exploiter la troisième loi de Kepler du mouvement circulaire.
- Le mouvement du centre d’une planète autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique peut être associé à un mouvement circulaire uniforme.
- Une étude dans le repère de Frenet, en
appliquant la deuxième loi de Newton, permet de
trouver les vecteurs accélération et vitesse.
- Le vecteur accélération est centripète et de valeur constante.
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et dépend de la masse du Soleil et de la distance entre la planète et le Soleil.
- Les lois de Kepler décrivent le mouvement des
planètes autour du Soleil.
- 1re loi : Toute planète évolue autour du Soleil sur une orbite elliptique dont le centre du Soleil est l'un des foyers.
- 2e loi (« loi des aires ») : L'aire balayée par un segment joignant le Soleil et la planète étudiée est constante pendant une durée ∆t donnée, indépendamment de la position de la planète sur son orbite.
- 3e loi (« loi des périodes ») : Le carré de la période T divisé par le cube du demi-grand axe de l'orbite a est une constante indépendante de la masse de la planète, et invariante d'une planète à l'autre.
- Les lois de Kepler sont généralisables aux autres corps célestes en orbite autour du Soleil et permettent d'étudier un satellite autour d'une planète.
Force de gravitation
Le mouvement d’une planète autour du Soleil, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, peut être assimilé à un mouvement circulaire et uniforme.
Au cours de son mouvement, la planète est soumise à une force unique : la force de gravitation exercée par le Soleil. On peut analyser son mouvement dans le repère de Frenet.
On considère deux corps massifs sphériques, de masses respectives m1 et m2, et dont les centres sont séparés d’une distance d.
Ces deux corps exercent l’un sur l’autre une force de gravitation de même valeur, de même direction et de sens opposés.
Forces gravitationnelles exercées
entre deux corps massifs
La valeur de la force de gravitation est la suivante.
avec :
|
On s’intéresse au mouvement du centre de masse d’une planète autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen.
On applique la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet .
L’expression du vecteur accélération est la suivante.
Le mouvement est circulaire, la distance d reste donc constante et la valeur du vecteur accélération est constante au cours du temps. Ce vecteur est centripète, ce qui signifie qu’il pointe en permanence vers le centre de la trajectoire.
Un vecteur centrifuge est radial et pointe vers l’extérieur de la trajectoire circulaire.
Le mouvement est uniforme, la dérivée par rapport au temps de la valeur de la vitesse est donc nulle ce qui nous donne :
On associe les deux expressions trouvées de l’accélération.
On obtient ainsi la valeur de la vitesse.
avec :
|
On constate que la vitesse est constante (ce qui confirme le mouvement uniforme) et qu’elle ne dépend pas de la masse de la planète : elle dépend uniquement de la masse du Soleil.
Le vecteur vitesse a l’expression suivante.
Vecteurs vitesse et accélération
dans le repère de Frenet
Johannes Kepler était un astronome dont les travaux ont permis d’établir les trois lois qui permettent de décrire le mouvement des planètes autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique (supposé galiléen).
Ces lois peuvent être étendues aux comètes, ainsi qu’à tout satellite du Soleil (astéroïdes, etc.). La condition est que la masse m du corps étudié soit négligeable devant celle du Soleil, ce qui est vérifié pour tout corps du système solaire, y compris Jupiter.
Illustration de la première loi de Kepler
Le second foyer est inoccupé.
Point mathématique - Les
ellipses
Une ellipse de foyers F et F’, désigne l’ensemble des points M du plan tels que FM + MF’ = constante. Le centre O de l’ellipse est situé au milieu du segment [FF’]. On définit deux axes passant par O : l’un passe par F et F’, et l’autre est perpendiculaire au premier axe. Les longueurs OA et OC sont égales et sont notées a, qui est le demi-grand axe de l’ellipse. On a aussi OB = OD = b, avec b qui est le demi-petit axe. |
- Il ne faut pas confondre périhélie et aphélie avec périgée et apogée, qui sont les termes équivalents pour des satellites de la Terre.
- Un cercle est une ellipse particulière pour laquelle les deux foyers F et F’ sont confondus et situés en O. Dans ce cas, on a a = b, et la relation FM + MF’ = constante devient OM = R, où R est le rayon du cercle.
- Dans la réalité, les orbites des planètes du système solaire sont des ellipses qui ressemblent beaucoup à des cercles. La première loi de Kepler est également applicable aux comètes. Les orbites observées sont dans ce cas très « étirées ».
Les aires balayées par la planète autour du Soleil
durant une durée Δt (ellipse)
Dans le cas d’une planète qui évolue sur une orbite circulaire (ou considérée comme telle), la loi des aires implique que la distance ΔD parcourue par la planète sur son orbite est constante pendant une durée Δt, où qu’elle soit sur l’orbite.
Les aires balayées par la planète autour du Soleil
durant une durée Δt (cercle)
Cela veut dire que la valeur de la vitesse est constante. En conséquence, quand une orbite est circulaire de rayon orbital R, le mouvement orbital est uniforme.
La vitesse v a l’expression suivante.
avec :
|
Cette loi établit la relation entre deux grandeurs caractéristiques du mouvement d’une planète : sa période de révolution T, et le demi-grand axe a de son orbite.
avec :
|
Cette constante dépend de la masse de l’astre autour duquel tournent les systèmes étudiés .
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on peut retrouver la troisième loi de Kepler.
On élève au carré l’égalité précédente :
On retrouve bien la troisième loi de Kepler.
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !