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Le cercle trigonométrique

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Objectif

Les fonctions sinus et cosinus ont été introduites dans les formules trigonométriques qui nous permettent de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Revoyons ces fonctions plus en détail à partir de la notion de cercle trigonométrique.

1. Enroulement de la droite « numérique » sur le cercle trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

. On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. A est le point de C de coordonnées (1 ; 0).

Définition :

On définit un sens sur ce cercle, appelé « direct », c'est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
On appelle ce cercle trigonométrique le cercle C muni du sens direct.

Rappel : la longueur du cercle C (périmètre) est égale à

car r =1.

Exemple :

Supposons que l’on s’intéresse au mouvement d’un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Au départ, le satellite part de la position A et tourne dans le sens de la flèche.
L’unité choisie est la distance Terre-Satellite (TS), c’est-à-dire que TS = 1.

Si le satellite revient à sa position de départ, il a parcouru

unités. Pour Atteindre la position A2, il doit parcourir

unités (la moitié) et pour atteindre la position A1, il doit parcourir

unités (le quart). En effectuant un parcourt de longueur

, le satellite revient en position A2.

En fait, à chaque fois que l’on repasse par la même position, la longueur du trajet est augmentée de

De même, en effectuant un parcours de longueur

, le satellite revient en position A1.

Soit d la droite tangente au cercle au point A. On a construit sur d une échelle basée sur

. Si on enroule la droite d sur le cercle, les points de d coïncident avec des points du cercle.

Remarque : Utiliser les abscisses négatives revient à tourner dans le sens indirect.

Conséquence : A chaque nombre réel x de la droite des nombres réels correspond un point unique sur le cercle C.

2. Une nouvelle unité, le radian

Considérons le cercle trigonométrique de centre O et A et M, deux points de ce cercle. Soit l la longueur de l’arc de cercle AM.

La mesure en radians de l’angle

est donnée par la longueur l.

Exemple 1 :
Si M est en B alors la longueur de l’arc de cercle AB est

(car

).
Par conséquent l’angle

a pour mesure

radians.

Remarque : La mesure d’un angle en radian et la mesure du secteur angulaire correspondant en degré, sont proportionnels :

Exemple 2 :
Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux réels suivant :

3. Sinus et cosinus d'un réel

Soit C le cercle trigonométrique dans un repère orthonormal

et x un nombre réel.
Soit M est le point correspondant au nombre x lors de l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.

Définition :
On appelle cosinus et sinus de x, que l'on note cos(x) et sin(x), les coordonnées du point M dans le repère

.
Alors M a pour coordonnées : .

Exemple :
Plaçons-nous dans la situation dans laquelle

. Notons H le point situé sur l’axe des abscisses de sorte que la droite (MH) soit perpendiculaire à l’axe des abscisses.
Si l’angle

mesure α degrés, la hauteur

vaut car OM = 1.
On retrouve le sinus connu depuis le collège. De même

Quelques valeurs remarquables :

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