Le calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue

Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles que devait suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque .
Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.

Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées s_n et S_n , constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie P_f , la seconde contenant P_f .

On appelle a_n l'aire de s_n et A_n l'aire de S_n.

Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.

On démontre (et on admet ici) que les suites (a_n) et (A_n) sont respectivement croissante et décroissante et que :
; autrement dit les suites (A_n) et (a_n) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(P_f).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties s_n et S_n.

Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire.
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a ≤ b.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] de courbe représentative C_f.

Le domaine plan situé sous la courbe C_f est la partie plane délimitée par C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. On le note ici P_f.
Autrement dit, on a P_f = {M(x ; y), axb et 0yf(x)}.

Le domaine P_f est représenté ci-dessous en bleu.

On admet que P_f  a une aire.

On encadre cette aire par la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et la somme des aires des rectangles situés au-dessus la courbe.
On crée n subdivisions de l’intervalle [a ; b].
Chaque rectangle inférieur a donc une aire égale à .
Chaque rectangle supérieur a donc une aire égale à .
On peut alors encadrer l’aire du domaine Pf :

Théorème et définition 3
On admet que P_f  a une aire appelée intégrale de f sur [a ; b].
On la note ou  .
On a donc = aire(P_f).

L’encadrement précédent devient :

Si l’on augmente le nombre n de subdivisions, les sommes des aires des rectangles tendent vers une limite commune égale à l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a ; b].