Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue - Maths complémentaires
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Prolonger la définition d'aire d'une surface plane pour les domaines dont un bord est une courbe de fonction continue, non nécessairement positive.
- Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici Pf, limité par l'axe (OI), la courbe Cf et les droites d'équations x = a et x = b.
- On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on
note
ou 
, le nombre égal à :
aire(Pf+) –
aire(Pf–).
- Si f
≤ g sur [a ; b], alors le domaine plan
limité par Cf,
Cg
et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale
à :
.
On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).
Soit (a, b) un
couple de réels vérifiant a ≤ b.
Soit f une
fonction continue sur [a ; b] de courbe
représentative Cf.
On appelle Pf+ l'éventuelle partie du domaine Pf située au-dessus de l'axe (OI) et Pf– l'éventuelle partie de Pf située au-dessous de (OI).
Autrement dit :
- Pf+ = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)} ;
- Pf– = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0} ;
- et Pf =
Pf+
Pf–.
- Cas 1 (déjà vu) : f est positive, donc Pf = Pf+.
- Cas 2 : f est négative, donc Pf = Pf–.
- Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note
ou , le nombre égal à
: aire(Pf+) –
aire(Pf–).
Reprenons les trois cas de figures :
- Cas 1 : f est positive, donc
Pf– =
Ø.
=
aire(Pf+).
- Cas 2 : f est négative, donc
Pf+ = Ø.
= –
aire(Pf–).
- Cas 3 : f est non-positive,
c'est-à-dire de signe variable.
=
aire(Pf+) –
aire(Pf–).
Soit (f ;
g) un couple
de fonctions continues sur un intervalle I de courbes respectives
Cf et
Cg.
Soit (a ;
b) un couple
de réels de I vérifiant
a ≤ b.
.
On vient de définir relativement rigoureusement le concept d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Mais ces définitions dépendent de calculs d’aires, donc hormis pour des fonctions très simples construites à l'aide de fonctions affines, ces calculs sont longs et compliqués, nécessitant l’utilisation de suites et de calculs de limites.
Ensuite on s’est limité au cas où a ≤ b ; qu’en est-il lorsque a > b ?
Il est donc urgent de trouver un moyen simple, rapide et performant pour calculer ces intégrales.
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