Le calcul approché de solutions d'équations avec Python

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.
On cherche à résoudre l’équation f(x) = 0 sur un intervalle [a ; b] après avoir prouvé que la fonction f est monotone et s’annule sur cet intervalle.
On se fixe une précision e (par exemple à 10^–2).
Pour cela, on utilise l’algorithme suivant.

1. On partage l’intervalle [a ; b] en deux intervalles [a ; m] et [m ; b] avec .
2. On choisit l’intervalle qui contient la solution pour cela, on calcule f(a) × f(m) :
   
   • si f(a) × f(m) ⩽ 0 cela signifie que f(a) et f(m) sont de signes contraires, donc la solution est dans l’intervalle [a ; m] ;
   • sinon la solution est dans l’intervalle [m ; b].
3. On reprend l’étape 1 tant que (b – a) est supérieur à la précision e fixée. Pour cela, on remplace l’intervalle [a ; b] par celui qui contient la solution.

Exemple
On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = e^x – 2. Déterminons une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l’équation f(x) = 0.

Étape	[a ; b]	m	Remarques	Graphique
1	[0 ; 1]	0,5	f(a) × f(m) > 0 La solution est donc dans l’intervalle [0,5 ; 1]. e = 1 – 0,5 = 0,5 > 0,1, donc on continue.
2	[0,5 ; 1]	0,75	f(a) × f(m) < 0 La solution est donc dans l’intervalle [0,5 ; 0,75]. e = 1 – 0,5 = 0,25 > 0,1, donc on continue.
3	[0,5 ; 0,75]	0,625	f(a) × f(m) < 0 La solution est donc dans l’intervalle [0,625 ; 0,75]. e = 0,625 – 0,75 = 0,125 > 0,1 donc on continue.
4	[0,625 ; 0,75]	0,6875	f(a) × f(m) > 0 La solution est donc dans l’intervalle [0,6875 ; 0,75]. e = 0,75 – 0,6875 = 0,065 < 0,1, donc on s’arrête.

La valeur approchée de la solution à 0,1 près est donc environ égale à 0,7.

Pour résumer, cet algorithme s’écrit en langage naturel de la façon suivante :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.
On cherche à résoudre l’équation f(x) = 0 sur un intervalle [a ; b] après avoir prouvé que la fonction f est monotone et s’annule sur cet intervalle.
On se fixe une précision e (par exemple à 10^–2).
Pour cela, on utilise l’algorithme suivant.

1. On définit deux points A et B de coordonnées A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)).
2. On calcule l’équation de la droite (AB), celle-ci vaut : .
   La droite (AB) est appelée la sécante à la courbe représentative de la fonction f.
3. On calcule l’abscisse c du point d’intersection C de la sécante (AB) avec l’axe des abscisses.
   On obtient : .
4. Tant que |c – a| > e, on recommence à partir de l’étape 1 avec a = c.

Exemple
On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = e^x – 2.
Déterminons une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l’équation f(x) = 0.

Étape	[a ; b]	m	Remarques	Graphique
1	[0 ; 1]	≈ 0,58	|c – a| ≈ 0,58 ≥ 0,1, donc on continue.
2	[0,58 ; 1]	≈ 0,68	|c – a| ≈ 0,09 < 0,1, donc on s'arrête.

La valeur approchée de la solution de l'équation f(x) = 0 à 0,1 près est donc environ égale à 0,7.

Pour résumer, cet algorithme s’écrit en langage naturel de la façon suivante :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.
On cherche à résoudre l’équation f(x) = 0 sur un intervalle [a ; b] après avoir prouvé que la fonction f est monotone et s’annule sur cet intervalle.
On se fixe une précision e (par exemple à 10^–2).
Pour cela, on utilise l’algorithme suivant.

1. On définit deux points A et B de coordonnées A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)).
2. On calcule l’équation de la tangente (d) à la courbe représentative de f au point B : y = f’(b)(x – b) + f(b).
3. On calcule l’abscisse c du point d’intersection C de la tangente (AB) avec l’axe des abscisses. On obtient : .
4. Tant que |c – b| > e, on recommence à partir de l’étape 1 avec b = c.

Exemple
On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = e^x – 2.
Déterminons une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l’équation f(x) = 0.

Étape	[a ; b]	m	Remarques	Graphique
1	[0 ; 1]	0,74	|c – b| ≈ 0,26 ≥ 0,1, donc on continue.
2	[0 ; 0,74]	≈ 0,69	|c – b| ≈ 0,05 < 0,1, donc on s'arrête.

La valeur approchée de la solution à 0,1 près est environ égale à 0,7.

Pour résumer, cet algorithme s’écrit en langage naturel de la façon suivante :