Fiche de cours

La valeur absolue

Lycée > Seconde > Mathématiques > La valeur absolue

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Connaitre la définition de la valeur absolue d’un nombre réel et son interprétation géométrique.
Faire le lien entre valeur absolue et intervalle.

Points clés

La valeur absolue du réel est le réel positif noté qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel .
On a : si est positif ou nul ; si est négatif ou nul.
Pour tous réels et , et pour tout entier , on a :
et ;
si : .
La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues. Soient et deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI). Alors .
Soient un réel et un réel positif.
Les réels de l’intervalle sont à une distance au plus de .
On peut donc écrire : .
De la même façon, on a : .

Pour bien comprendre

Nombres réels, représentation sur une droite graduée
Inégalités ≤, <, >, ≥
Intervalle

1. Définition et propriétés

a. Définition

Dans le plan, soit une droite graduée (O,I) d’origine O.
Tout nombre réel est donc l’abscisse d’un point M de cette droite.

La valeur absolue du réel

est le réel positif noté

qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel

Propriété

est positif ou nul ;

est négatif ou nul.

Remarque
0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0.

Exemples

car

et donc

car

et donc

car

d’où

> 0

(on traite les deux valeurs absolues séparément)

b. Opérations

Propriété
Pour tous réels

, et pour tout entier

, on a :

Exemple

Or,

donc

et donc

Par ailleurs,

est la somme de deux réels positifs, et est positif.
Donc

Par conséquent :

2. Résolution d'équations et d'inéquations

La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.

Propriété
Soient

deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI).
Alors

Exemple 1
Résoudre dans

l’équation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse 3.
Alors

. Donc

.
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B : son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1.
1 et 5 sont les deux solutions de l’équation.

Exemple 2
Résoudre dans

l’équation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse 5.
Alors

.
On considère le point B d’abscisse 2. Alors

.
Donc

. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance égale des points A et B : son abscisse est donc

, unique solution de l’équation.

Exemple 3
Résoudre dans

l’inéquation

.
On considère le point M d’abscisse

.
Alors

. Donc

.
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance strictement inférieure à 6 du point O : son abscisse est donc comprise
entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Exemple 4
Résoudre dans

l’inéquation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse –4.
Alors

.
Donc

. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance inférieure à 3 du point A : son abscisse est donc comprise entre –4 – 3 = –7 et –4 + 3 = –1.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Exemple 5
Résoudre dans

l’inéquation

.
Il n’est pas nécessaire d’avoir un raisonnement géométrique : une valeur absolue étant positive, on a toujours

et donc tous les réels sont solutions de l’inéquation.

3. Intervalles et valeur absolue

Propriété
Soient

un réel et

un réel positif.
Les réels de l’intervalle

sont à une distance au plus

.
On peut donc écrire :

.
De la même façon, on a :

Sur ce schéma, on a représenté l’intervalle par un segment et on a bien : et .

Vocabulaire
est appelé le centre de l’intervalle, son rayon.

Remarque
On a également :

Méthode

Pour écrire un intervalle sous la forme d’une condition avec une valeur absolue, il faut :

déterminer le centre de l’intervalle ;
déterminer le rayon de l’intervalle ;
remplacer et dans l’expression . On applique alors la propriété : .

Exemple 1
Traduire par une condition avec une valeur absolue

.
On pose

.
Le centre de l’intervalle vaut

; le rayon vaut

.
Donc

Exemple 2
Traduire par une condition avec une valeur absolue

(attention, ici c’est

!)
On pose

.
Alors

.
Comme

< 6, on prend l’affirmation contraire et on a par conséquent :

Évalue ce cours !

Note 3.2 / 5. Nombre de vote(s) : 33

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT