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La valeur absolue

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Objectifs

Connaitre la définition de la valeur absolue d’un nombre réel et son interprétation géométrique.
Faire le lien entre valeur absolue et intervalle.

Points clés

La valeur absolue du réel est le réel positif noté qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel .
On a : si est positif ou nul ; si est négatif ou nul.
Pour tous réels et , et pour tout entier , on a :
et ;
si : .
La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues. Soient et deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI). Alors .
Soient un réel et un réel positif.
Les réels de l’intervalle sont à une distance au plus de .
On peut donc écrire : .
De la même façon, on a : .

Pour bien comprendre

Nombres réels, représentation sur une droite graduée
Inégalités ≤, <, >, ≥
Intervalle

1. Définition et propriétés

a. Définition

Dans le plan, soit une droite graduée (O,I) d’origine O.
Tout nombre réel est donc l’abscisse d’un point M de cette droite.

La valeur absolue du réel

est le réel positif noté

qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel

Propriété

est positif ou nul ;

est négatif ou nul.

Remarque
0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0.

Exemples

car

et donc

car

et donc

car

d’où

> 0

(on traite les deux valeurs absolues séparément)

b. Opérations

Propriété
Pour tous réels

, et pour tout entier

, on a :

Exemple

Or,

donc

et donc

Par ailleurs,

est la somme de deux réels positifs, et est positif.
Donc

Par conséquent :

2. Résolution d'équations et d'inéquations

La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.

Propriété
Soient

deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI).
Alors

Exemple 1
Résoudre dans

l’équation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse 3.
Alors

. Donc

.
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B : son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1.
1 et 5 sont les deux solutions de l’équation.

Exemple 2
Résoudre dans

l’équation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse 5.
Alors

.
On considère le point B d’abscisse 2. Alors

.
Donc

. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance égale des points A et B : son abscisse est donc

, unique solution de l’équation.

Exemple 3
Résoudre dans

l’inéquation

.
On considère le point M d’abscisse

.
Alors

. Donc

.
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance strictement inférieure à 6 du point O : son abscisse est donc comprise
entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Exemple 4
Résoudre dans

l’inéquation

.
On considère le point M d’abscisse

et le point A d’abscisse –4.
Alors

.
Donc

. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance inférieure à 3 du point A : son abscisse est donc comprise entre –4 – 3 = –7 et –4 + 3 = –1.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Exemple 5
Résoudre dans

l’inéquation

.
Il n’est pas nécessaire d’avoir un raisonnement géométrique : une valeur absolue étant positive, on a toujours

et donc tous les réels sont solutions de l’inéquation.

3. Intervalles et valeur absolue

Propriété
Soient

un réel et

un réel positif.
Les réels de l’intervalle

sont à une distance au plus

.
On peut donc écrire :

.
De la même façon, on a :

Sur ce schéma, on a représenté l’intervalle par un segment et on a bien : et .

Vocabulaire
est appelé le centre de l’intervalle, son rayon.

Remarque
On a également :

Méthode

Pour écrire un intervalle sous la forme d’une condition avec une valeur absolue, il faut :

déterminer le centre de l’intervalle ;
déterminer le rayon de l’intervalle ;
remplacer et dans l’expression . On applique alors la propriété : .

Exemple 1
Traduire par une condition avec une valeur absolue

.
On pose

.
Le centre de l’intervalle vaut

; le rayon vaut

.
Donc

Exemple 2
Traduire par une condition avec une valeur absolue

(attention, ici c’est

!)
On pose

.
Alors

.
Comme

< 6, on prend l’affirmation contraire et on a par conséquent :

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