La somme de n variables aléatoires
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Étudier la somme et la moyenne de n variables aléatoires indépendantes.
- Étudier les relations entre les espérances et les variances.
- Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables
aléatoires discrètes et Z = (X1 ; X2 ; … ; Xn).
On considère la variable
aléatoire n-uplets dont l’univers
est noté ΩZ.
On définit la somme de ces n variables aléatoires par S = X1 + X2 + … + Xn dont l’univers est Ωs = {s = x1 + x2 + ⋯ + xn avec (x1 ; x2 ; … ; xn)
ΩZ} et
p(S = s) = somme
des p(Z = (x1 ; x2 ; … ; xn)
avec x1 + x2 + ⋯ + xn = s.
- Soit X1 ;
X2 ;
… ; Xnn variables
aléatoires et S = X1 + X2 + … + Xn.
E(S) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn), soit E(X1 + X2+ … + Xn) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn) - Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables
aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + … + Xn.
On a V(S) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn), soit V(X1 + X2 + … + Xn) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn). - Soit X une variable aléatoire, un échantillon de taille n de X est un n-uplets de variables aléatoires (X1 ; X2 ; … ; Xn) indépendantes et qui suivent toutes la même loi de X.
- Soit (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n d’une variable aléatoire X et S la somme de cet échantillon : E(S) = nE(X) et V(S) = nV(X).
- Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, donc E(X) = np et V(X) = np(1 – p).
- Soit X1 ;
X2 ; … ; Xnn variables
aléatoires et S = X1 + X2 + … + Xn
la somme de ces n variables
aléatoires et
la moyenne de ces
n variables
aléatoires : 
et 
.
-
E(M) = E(X)
et
.
Connaitre les propriétés d’une variable aléatoire.
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires dont les univers sont notés ΩX1 ; ΩX2 ; … ; ΩXn. La variable aléatoire n-uplets (X1 ; X2 ; … ; Xn), qu’on peut noter Z, est la variable aléatoire dont l’univers est ΩZ = ΩX1 × ΩX2 × … × ΩXn et telle que :
p(Z = (x1 ; x2 ;
… ; xn) = p((X1 = x1) 
(X2 = x2) … (Xn = xn)).
On considère trois urnes contenant des jetons numérotés. La première urne contient 5 jetons (2 jetons numérotés 0 et 3 jetons numérotés 1), la deuxième urne contient 10 jetons (3 jetons numérotés 0, 2 jetons numérotés 1 et 5 jetons numérotés 2) et la troisième urne contient 2 jetons (1 jeton numéroté 0 et l’autre numéroté 1).
On tire au hasard un jeton dans la première urne et on note X1 le numéro du jeton tiré. Puis on tire au hasard un jeton dans la deuxième urne et on note X2 le numéro du jeton tiré. Enfin on tire au hasard un jeton dans la troisième urne et on note X3 le numéro du jeton tiré.
On va déterminer la loi de la variable aléatoire Z = (X1 ; X2 ; X3).
Traduisons cette situation par un arbre pondéré.
Soit X1 ; X2 ; … ; Xn n variables aléatoires discrètes et Z = (X1 ; X2 ; … ; Xn). On considère la variable aléatoire n-uplets dont l’univers est noté ΩZ.
On définit la somme de ces n variables aléatoires par S = X1 + X2 + … + Xn dont l’univers est :
ΩS = {s = x1 + x2 + ⋯ + xn avec (x1 ; x2 ; … ; xn)
ΩZ}et p(S = s) = somme des p(Z = (x1 ; x2 ; … ; xn) avec x1 + x2 + ⋯ + xn = s.
Reprenons l’exemple précédent.
On a ΩX1 = {0 ; 1} ; ΩX2 = {0 ; 1 ; 2} et ΩX3 = {0 ; 1}, donc les valeurs possibles de S = X1 + X2 + X3 sont :
| Valeurs de Z | Valeurs de S |
| (0 ; 0 ; 0) | 0 |
| (0 ; 0 ; 1) | 1 |
| (0 ; 1 ; 0) | 1 |
| (0 ; 1 ; 1) | 2 |
| (0 ; 2 ; 0) | 2 |
| (0 ; 2 ; 1) | 3 |
| (1 ; 0 ; 0) | 1 |
| (1 ; 0 ; 1) | 2 |
| (1 ; 1 ; 0) | 2 |
| (1 ; 1 ; 1) | 3 |
| (1 ; 2 ; 0) | 3 |
| (1 ; 2 ; 1) | 4 |
Donc ΩS = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.
p(S = 0) = p(Z = (0 ; 0 ; 0) = 0,06
p(S = 1) = p(Z = (0 ; 0
; 1)) + p(Z = (0 ; 1 ; 0))
+ p(Z = (1 ; 0 ; 0))
p(S = 1) = 0,06 + 0,04 + 0,09 = 0,19
p(S = 2) = p(Z = (0 ; 1 ; 1))
+ p(Z = (0 ; 2 ; 0))
+ p(Z = (1 ; 0 ; 1))
+ p(Z = (1 ; 1 ; 0))
p(S = 2) = 0,04 + 0,1 + 0,09 + 0,06 = 0,29
p(S = 3) = p(Z = (0 ; 2 ; 1)) + p(Z = (1 ; 1 ; 1)) + p(Z = (1 ; 2 ; 0)) = 0,1 + 0,06 + 0,15 = 0,31
p(S = 4) = p(Z = (1 ; 2 ; 1)) = 0,15
Donc la loi de S est :
| si | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi = p(S = si) | 0,06 | 0,19 | 0,29 | 0,31 | 0,15 |
Pour deux variables aléatoires X et Y, l’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, soit E(X + Y) = E(X) + E(Y). Ceci se généralise à une somme de n variables aléatoires.
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2+ … + Xn.
E(S) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)
Soit E(X1 + X2+ … + Xn) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)Reprenons l’exemple précédent :
- Espérance de X1
| Valeurs de X1 | x11 = 0 | x12 = 1 |
| Probabilités | p11 = 0,4 | p12 = 0,6 |
E(X1) = p11x11+ p12x12 = 0,4 × 0 + 0,6 × 1 = 0,6
- Espérance de X2
| Valeurs de X2 | x21 = 0 | x22= 1 | x23= 2 |
| Probabilités | p21 = 0,3 | p22= 0,2 | p23= 0,5 |
E(X2) = p21x21+ p22x22+ p23x23= 0,3 × 0 + 0,2 × 1 + 0,5 × 2 = 1,2
- Espérance de X3
| Valeurs de X3 | x31 = 0 | x32= 1 |
| Probabilités | p31 = 0,5 | p32= 0,5 |
E(X3) = p31x31 + p32x32= 0,5 × 0 + 0,5 × 1 = 0,5
- Espérance de S = X1 + X2 + X3
| si | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi = p(S = si) | 0,06 | 0,19 | 0,29 | 0,31 | 0,15 |
E(S) = p1s1 + p2s2 + p3s3 + p4s4 + p5s5
E(S) = 0,06 × 0 + 0,19
× 1 + 0,29
× 2 + 0,31
× 3 + 0,15 × 4 = 2,3
Et on a E(X1) + E(X2) + E(X3) = 0,6 + 1,2 + 0,5 = 2,3.
On a bien E(S) = E(X1) + E(X2) + E(X3),soit E(X1+ X2+ X3) = E(X1) + E(X2) + E(X3).
Des variables aléatoires sont indépendantes si elles sont de situations indépendantes, c’est-à-dire :
P((X1 = x1)
(X2 = x2) 
… 
(Xn = xn))
=
P(X = x1) × P(X = x2) × … × P(X = xn)
pour tout xi 
ΩXi
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, la variance de la somme de X et Y est égale à la somme des variances de X et Y, soit V(X + Y) = V(X) + V(Y). Ceci se généralise pour la somme de n variables aléatoires indépendantes.
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + … + Xn.
V(S) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)
Reprenons l’exemple précédent.
X1, X2 et X3 sont issues de trois situations indépendantes, donc X1, X2 et X3 sont indépendantes.
V(X1) = p11(x11 – E(X1))2 + p12(x12 – E(X1))2
V(X1) = 0,4
× (0 – 0,6)2 + 0,6
× (1 – 0,6)2 = 0,24
V(X2)
= p21(x21 – E(X2))2 + p22(x22 – E(X2))2 + p23(x23 – E(X2))2
V(X2) = 0,3 × (0 – 1,2)2 + 0,2
× (1 – 1,2)2 + 0,5
× (2 – 1,2)2 = 0,76
V(X3) = p31(x31 – E(X3))2 + p32(x32 – E(X3))2
V(X3) = 0,5
× (0 – 0,5)2 + 0,5
× (1 – 0,5)2 = 0,25
V(S) = p1(s1 – E(S))2 + p2(s2 – E(S))2 + … + p5(s5 – E(S))2
V(S) = 0,6
× (0 – 2,3)2 + 0,19
× (1 – 2,6)2 + … + 0,15
× (4 – 2,3)2 = 1,25
Donc V(S) = V(X1) + V(X2) + V(X3),
soit V(X1+ X2+ X3) = V(X1) + V(X2) + V(X3).
Dans une urne de 10 jetons, 3 jetons sont numérotés 0, 5 jetons numérotés 1 et 2 jetons numérotés 2.
On tire au hasard un jeton, on note son numéro et on note X le numéro tiré.
La loi de X est :
| xi | 0 | 1 | 2 |
| pi = p(X = xi) | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
X1, X2 et X3 sont indépendantes, puisqu’on remet le jeton dans l’urne après chaque tirage. Les lois de X1, de X2 et de X3 sont les mêmes que celle de X.
Donc (X1 ; X2 ; X3) est un échantillon de taille 3 de X.
Soit (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n d’une variable aléatoire X et S la somme de cet échantillon :
E(S) = nE(X)
- Soit (X1 ;
X2 ;
… ; Xn) un
échantillon de taille n d’une variable
aléatoire X et S la somme de cet
échantillon, c’est-à-dire
S = X1 + X2 + … + Xn.
E(S) = E(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = E(X1) + E(X2) + ⋯ + E(Xn)
Comme X1 ; X2 ; … ; Xn suivent la même loi que celle de X, donc :
E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X) et E(S) = E(X) + E(X) + ⋯+ E(X) avec n facteurs
D’où E(S) = nE(X).
- De même, et puisque les Xi sont
indépendantes :
V(S) = V(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = V(X1) + V(X2) + ⋯ + V(Xn)
Comme X1 ; X2 ; … ; Xn suivent la même loi que celle de X, donc :
V(X1) = V(X2) = … = V(Xn) = V(X) et V(S) = V(X) + V(X) + ⋯ + V(X) avec n facteurs
D’où V(S) = nV(X).
Soit X la variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,4.
On sait que E(X) = p = 0,4 et V(X) = p(1 – p) = 0,4 × 0,6 = 0,24.
S étant la somme d’un échantillon de X de taille 100, donc :
E(S) = nE(X) = 100 × 0,4 = 40
V(S) = 100 × 0,24 = 24Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p donc :
E(X) = np
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. n est le nombre de répétitions et p la probabilité du succès.
Comme une loi binomiale est une somme de lois de Bernoulli, c’est-à-dire une somme d’un échantillon d’une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p, alors X = X1 + X2+ … + Xn, avec X1 ; X2 ; … ; Xn des variables aléatoires qui suivent la même loi de Bernoulli de paramètre p.
Donc E(X) = E(X1 + X2+ …
+ Xn) = E(X1) + E(X2) + ⋯ + E(Xn)
E(X) = p + p + ⋯ + p
avec n facteurs
E(X) = np
V(X) = V(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = V(X1) + V(X2) + ⋯ + V(Xn)
V(X) = p(1 – p) + p(1 – p) + ⋯ + p(1 – p)
avec n facteurs
V(X) = np(1 – p)
On retrouve ainsi l’espérance et la variance d’une loi binomiale.
Soit a un nombre réel et X une variable aléatoire :
E(aX) = aE(X)
, soit M = 
.
Reprenons l’exemple du paragraphe I.
On reprend la loi de S = X1 + X2 + X3.
| si | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi = p(S = si) | 0,06 | 0,19 | 0,29 | 0,31 | 0,15 |
Donc la loi de M = 
est :
| mi | 0 |
|
|
1 |
|
| pi = p(M = mi) | 0,06 | 0,19 | 0,29 | 0,31 | 0,15 |
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2 + ⋯ + Xn la somme de ces n variables aléatoires et M =
la moyenne de ces
n variables
aléatoires, donc :
E(M) = 
.
M =
M = 
avec
S = X1 + X2 + ⋯ + Xn
M = 
S
E(M) = E
E(M) = E(S)
On reprend l’exemple précédent. On avait calculé E(S) = 2,3.
E(M) = p1m1+ p2m2+ p3m3+ p4m4+ p5m5
E(M) = 0 × 0,06
+ × 0,19
+ × 0,29
+ 1
× 0,31
+ × 0,15
E(M) = 
= 
=
.
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + ⋯ + Xn la somme de ces n variables aléatoires et M =
la moyenne de ces
n variables
aléatoires, donc :
M = S
V(M) = V
V(M) = 
V(S)
V(M) = 
V(S)
On reprend l’exemple précédent. On avait calculé V(S) = 1,25.
V(M) = p1(m1 – E(M))2+ p2(m2 – E(M))2+ ⋯ + p5(m5 – E(M))2
V(M) = 0,06 × (0 – 2,3)2+ 0,19
× (– 2,3)2+ ⋯
+ 0,15
× ( – 2,3)2
V(M) = 
= 
=
.
Soit X une variable aléatoire et M la moyenne d’un échantillon de taille n de X, donc :
Soit X une variable aléatoire et (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n de cette variable aléatoire et S la somme des Xi.
M = 
E(M) = 
et V(M) = 
Or, pour un échantillon de taille n de X, on a :
E(S) = nE(X) et V(S) = nV(X)
Donc E(M) = 
= E(X) et V(M) = 
= 
.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p :
E(X) = p et V(X) = p(1 – p).
M étant la moyenne d’un échantillon de taille n de X, donc :
E(M) = p et V(X) =
.
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