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La somme de 2 variables aléatoires

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Objectif

Effectuer des opérations sur deux lois de variables aléatoires et notamment la somme de deux variables.

Points clés

Soit X une variable aléatoire et a et b deux nombres réels.
L’espérance de aX + b est E(aX + b) = aE(X) + b.
La variance de aX + b est V(aX + b) = a²V(X).
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes d’univers respectifs et .
La variable couple Z = (X ; Y) a pour univers et .
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes.
L’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, c’est-à-dire E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :
V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Pour bien comprendre

Calculer des probabilités.
Connaitre la notion de variables aléatoires.
Calculer espérance et variance.

1. La variable aléatoire aX + b

a. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète

Soit X une variable aléatoire discrète d’univers dont la loi est donnée dans le tableau suivant :

x_i	x₁	x₂	…	x_n
p_i = p(X = x_i)	p₁	p₂	…	p_n

Rappels
L'espérance mathématique de X est :

La variance de X est :

(théorème de König-Huygens)
L’écart-type de X est :

b. La variable aléatoire aX + b

Soit a et b deux nombres réels et X une variable aléatoire discrète d’univers

.
Y = aX + b est la variable aléatoire discrète d’univers

telle que y_i = ax_i + b pour 1 ≤ i ≤ n et p(Y = y_i) = p(X = x_i).

Autrement dit, il n’y a que l’univers de Y qui change, les probabilités restent les mêmes.

Exemple
Soit X la variable aléatoire discrète de loi :

x_i	1	2	3
p_i = p(X = x_i)	0,1	0,5	0,4

Donc la loi de la variable aléatoire Y = 2X + 1 sera :

y_i	3	5	7
p_i = p(Y = y_i)	0,1	0,5	0,4

Propriété
L’espérance de aX + b est E(aX + b) = aE(X) + b.

Démonstration

Soit X une variable aléatoire discrète et Y = aX + b, avec a et b deux nombres réels. Donc, pour tout 1 ≤ i ≤ n :
y_i = ax_i + b et p(Y = y_i) = p(X = x_i)

Or et .

Donc E(Y) = aE(X) + b × 1.
E(aX + b) = aE(X) + b
E(Y) = aE(X) + b

Propriété
La variance de aX + b est V(aX + b) = a²V(X).

Démonstration

2. Couple de deux variables aléatoires

a. Loi d'un couple de deux variables aléatoires

Si on a deux variables aléatoires X et Y, on peut définir une variable aléatoire Z = (X ; Y) qu’on appelle la variable aléatoire couple.

Exemple

On dispose de deux urnes. L’urne n° 1 contient quatre jetons, dont trois sont numérotés 1 et un numéroté 2. L’urne n° 2 contient 2 jetons, numérotés 3 et 4.
On tire d’abord un jeton dans l’urne n° 1 et on note son numéro, puis on tire un jeton dans l’urne n° 2 et on note son numéro.
On note X le numéro du jeton tiré dans l’urne n° 1 ; Y le numéro du jeton tiré dans l’urne n° 2 et Z le couple des numéros obtenus lors de ces deux tirages.
X est une variable aléatoire dont l’univers est et dont la loi est :

x_i	1	2
p_i = p(X = x_i)	0,75	0,25

Y est une variable aléatoire dont l’univers est et dont la loi est :

y_i	3	4
p_i = p(Y = y_i)	0,5	0,5

Z est une variable aléatoire dont l’univers est , soit le produit cartésien .
On peut noter Z par (X ; Y).
La loi de Z peut être déduite de l’arbre suivant :

p(Z = (1 ; 3)) = 0,375 ; p(Z = (1 ; 4)) = 0,375 ; p(Z = (2 ; 3)) = 0,125 et p(Z = (2 ; 4)) = 0,125.
Cette loi peut être représentée sous forme d’un tableau à double entrée :

Y X	3	4
1	0,375	0,375
2	0,125	0,125

Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes d’univers respectifs

.
La variable couple Z = (X ; Y) a pour univers

La loi de Z peut être présentée sous forme d’un tableau à double entrée :

Y X	y₁	y₂	...	y_m
x₁	p(Z =( x₁ ; y₁))	p(Z =( x₁ ; y₂))	...	p(Z =( x₁ ; y_m))
x₂	p(Z =( x₂ ; y₁))	p(Z =( x₂ ; y₂))	...	p(Z =( x₂ ; y_m))
...	...	...	...	...
x_n	p(Z =( x_n ; y₁))	p(Z =( x_n ; y₂))	...	p(Z =( x_n ; y_m))

b. Loi d'une variable résultant d'opérations à partir de deux variables aléatoires

On peut utiliser la loi d’un couple de variables aléatoires pour déterminer la loi d’une variable aléatoire résultant d’opérations à partir de ces deux variables aléatoires.

Exemple

Soit X et Y deux variables aléatoires. Soit Z = (X ; Y) le couple de X et Y dont la loi est :

Y X	0	2	4
1	0,1	0,3	0,2
2	0,2	0,1	0,1

On va déterminer la loi de la variable aléatoires M = XY.
Les univers de X et Y sont et .
Les valeurs possibles de M qui est le produit de X par Y sont :
• 0 qui correspond à 1 × 0 et 2 × 0 ;
• 2 qui correspond à 1 × 2 ;
• 4 qui correspond à 1 × 4 et 2 × 2 ;
• 8 qui correspond à 2 × 4.

Donc p(M = 0) = p(Z = (1 ; 0)) + p(Z = (2 ; 0)) = 0,1 + 0,2 = 0,3
p(M = 2) = p(Z = (1 ; 2)) = 0,3
p(M = 4) = p(Z = (1 ; 4)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,2 + 0,1 = 0,3
p(M = 8) = p(Z = (2 ; 4)) = 0,1
Donc la loi de M est :

m_i	0	2	4	8
p_i = p(M = m_i)	0,3	0,3	0,3	0,1

3. Somme de deux variables aléatoires

a. Exemple

Exemple

Une urne contient 5 jetons : 3 jetons numérotés 1 et 2 jetons numérotés 2. On tire au hasard un jeton et on note son numéro. On ne le remet pas dans l’urne, on tire un autre jeton et on note son numéro.
On note X le numéro du jeton du premier tirage et Y le numéro du jeton du second tirage.
On va déterminer la loi Z = (X ; Y) et la loi de la somme S = X + Y.
Pour faciliter les calculs, on représente la situation sous la forme d’un arbre pondéré :

La loi de Z peut être représentée sous forme d’un tableau à double entrée :

Y X	1	2
1	0,3	0,3
2	0,3	0,1

Intéressons-nous maintenant à la loi de S.
Son univers est 2 ; 3 et 4.
p(S = 2) = p(Z = (1 ; 1) = 0,3
p(S = 3) = p(Z = (1 ; 2) + p(Z = (2 ; 1) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(S = 4) = p(Z = (2 ; 2) = 0,1

s_i	2	3	4
p_i = p(S = s_i)	0,3	0,6	0,1

Remarque

Pour déterminer la loi d’une somme de deux variables aléatoires X et Y, on a besoin de connaitre la loi de la variable aléatoire couple (X ; Y).
On peut aussi déduire les lois de X et Y. En effet :
p(X = 1) = p(Z = (1 ; 1)) + p(Z = (1 ; 2)) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(X = 2) = p(Z = (2 ; 1)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,3 + 0,1 = 0,4
D’où la loi de X est :

x_i	1	2
p_i = p(X = x_i)	0,6	0,4

De la même façon :
p(Y = 1) = p(Z = (1 ; 1)) + p(Z = (2 ; 1)) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(Y = 2) = p(Z = (1 ; 2)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,3 + 0,1 = 0,4
D’où la loi de Y est :

y_i	1	2
p_i = p(Y = y_i)	0,6	0,4

b. De la loi couple (X ; Y) aux lois de X et de Y

Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes d’univers respectifs et .
On donne la loi de la variable couple Z = (X ; Y) sous la forme du tableau à double entrée suivant.

Y X	y₁	y₂	...	y_m
x₁	p(Z =( x₁ ; y₁))	p(Z =( x₁ ; y₂))	...	p(Z =( x₁ ; y_m))
x₂	p(Z =( x₂ ; y₁))	p(Z =( x₂ ; y₂))	...	p(Z =( x₂ ; y_m))
...	...	...	...	...
*x_n*	p(Z =( x_n ; y₁))	p(Z =( x_n ; y₂))	...	p(Z =( x_n ; y_m))

Qu’on peut écrire en plus simple en notant p_i;j = p(Z = (x_i ; y_j))

Y X	y₁	y₂	...	y_m
x₁	p_{1 ; 1}	p_{1 ; 2}	...	p_{1 ; m}
x₂	p_{2 ; 1}	p_{2 ; 2}	...	p_{2 ; m}
...	...	...	...	...
*x_n*	p_{n ; 1}	p_{n ; 2}	...	p_{n ; m}

Donc la loi de X est définie par :

Soit .
C’est-à-dire :

x_i	x₁	x₂	...	x_n
p_i = p(X = x_i)	p_1;1 + p_1;2 + … + p_1;_m	p_2;1 + p_2;2+ … + p_2;_m	...	p_n_;1+ p_n_;2+ … + p_n;m

De même la loi de Y est définie par :

Soit :
C’est-à-dire :

y_i	y₁	y₂	...	y_m
q_i = p(Y = y_i)	p_1;1 + p_2;1+ … + p_n_;1	p_1;2+ p_2;2+ … + p_n_;2	...	p_1;_m + p_2;_m + … + p_n;m

Autrement dit, pour calculer les probabilités de X, on calcule les sommes des lignes et, pour Y, on calcule les sommes des colonnes.
Si on note p_i = p(X = x_i) et q_j = p(Y = y_j), on peut représenter les lois de Z ; X et Y dans un même tableau.

Y X	y₁	y₂	...	y_m	La loi de X
x₁	p_{1 ; 1}	p_{1 ; 2}	...	p_{1 ; m}
x₂	p_{2 ; 1}	p_{2 ; 2}	...	p_{1 ; m}
...	...	...	...	...	...
*x_n*	p_{n ; 1}	p_n _{; 2}	...	p_n _;_m
La loi de Y			...

Exemple

On considère la loi de la variable aléatoire couple (X ; Y) suivante.

Y X	2	3	4
0	0,1	0,3	0,2
1	0,1	0,2	0,1

La loi de X est définie par :
p(X = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
p(X = 1) = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4

La loi de Y est définie par :
p(Y = 2) = 0,1 + 0,1 = 0,2
p(Y = 3) = 0,3 + 0,2 = 0,5
p(Y = 4) = 0,2 + 0,1 = 0,3

c. Espérance de la somme de deux variables aléatoires

Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes.
L’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, c’est-à-dire :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Démonstration

En prenant la loi couple Z = (X ; Y) et S = X + Y, on a :

E(X + Y) = p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n+ q₁y₁ + q₂y₂ + ... + q_my_m
D’où E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Exemple
Soit X et Y deux variables aléatoires dont la loi couple Z = (X ; Y) est :

Y X	0	1
0	0,1	0,2
1	0,3	0,1
2	0,2	0,1

Donc la loi de X est définie par
p(X = 0) = 0,1 + 0,2 = 0,3
p(X = 1) = 0,3 + 0,1 = 0,4
p(X = 2) = 0,2 + 0,1 = 0,3
Soit :

x_i	0	1	2
p_i = p(X = x_i)	0,3	0,4	0,3

E(X) = 0,3 × 0 + 0,4 × 1 + 0,3 × 2 = 1

La loi de Y est définie par :
p(Y = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
p(Y = 1) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4
Soit :

y_i	0	1
p_i = p(Y = y_i)	0,6	0,4

E(Y) = 0,6 × 0 + 0,4 × 1 = 0,4

La loi de S = X + Y est définie par :
p(S = 0) = p(Z = (0 ; 0)) = 0,1
p(S = 1) = p(Z = (0 ; 1)) + p(Z = (1 ;0) = 0,2 + 0,3 = 0,5
p(S = 2) = p(Z = (2 ; 0)) + p(Z = (1 ; 1)) = 0,2 + 0,1 = 0,3
p(S = 3) = p(Z = (2 ; 1)) = 0,1
Soit :

s_i	0	1	2	3
p_i = p(S = s_i)	0,1	0,5	0,3	0,1

E(S) = E(X + Y) = 0,1 × 0 + 0,5 × 1 + 0,3 × 2 + 0,1 × 3 = 1,4
On a E(X) = 1 et E(Y) = 0,4, donc E(X) + E(Y) = 1,4, donc on a bien E(X + Y) = E(X) + E(Y).

4. Variance d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes

a. Loi couple de deux variables aléatoires indépendantes

Rappel
Soit X et Y deux variables aléatoires d’univers respectifs

et Z = (X ; Y)
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes si et seulement si :

pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m.
Soit

.
Et en utilisant les notations précédentes : p_ij= p_i × q_j.
Ainsi la loi de Z est :

Y X	y₁	y₂	...	y_m
x₁	p₁× q₁	p₁× q₂	...	p₁× q_m
x₂	p₂× q₁	p₂× q₂	...	p₂× q_m
...	...	...	...	...
*x_n*	p_n × q₁	p_n × q₂	...	p_n × q_m

Exemple

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois sont :

x_i	0	1
p_i = p(X = x_i)	0,4	0,6

y_i	0	1	2
q_i = p(Y = y_i)	0,2	0,3	0,5

Donc la loi de Z = (X ; Y)

Y X	0	1	2
0	0,4 × 0,2 = 0,08	0,4 × 0,3 = 0,12	0,4 × 0,5 = 0,2
1	0,6 × 0,2 = 0,12	0,6 × 0,3 = 0,18	0,6 × 0,5 = 0,3

b. Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Démonstration

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :

c. Relation entre E(XY), E(X) et E(Y)

Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes alors :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Démonstration

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes.

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