La notion de primitive via le calcul intégral

Théorème
Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction dérivée f.
Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a .

Soit un repère orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).
Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative C_f.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b].

Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x ; y), a x t et 0 y f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non-nul vérifiant t + h [a ; b].

Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.

On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.

Par définition, on a : A(t) = .

Donc A(t + h) – A(t) représente l'aire de la partie verte. Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives f(t) et f(t + h).

Ainsi on dispose des inégalités h × f(t) A(t + h) – A(t) h × f(t + h), et puisque h > 0 :
.
On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a : .
En utilisant le théorème d'encadrement dit des « gendarmes », on a : .

On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi : .

Finalement, on dispose de l’égalité : .

Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A'(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A' = f sur [a ; b].

Avec les notations et conditions du théorème précédent, la fonction est une primitive de la fonction f sur [a ; b].

On se place dans le cas où I = [a ; b].

• Pour (P1)

Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.

Graphiquement, cela semble cohérent :

Ainsi, pour tout réel x de I, f(x) m, donc f(x) – m 0.

La fonction est continue et positive sur I, elle admet donc une primitive, à savoir la fonction .
Donc G'(x) = g(x) = f(x) – m, soit encore f(x) = G'(x) + m.
Finalement, la fonction est une primitive de f car
F'(x) = G'(x) + m = f(x).

• Pour (P2)

Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une primitive de f sur I.
Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0.
Autrement dit, G – F = k où k est une constante réelle, soit G = F + k.

• Pour (P3)

Si G est une primitive de f sur I telle que G(x₀) = y₀, alors F(x₀) + k = y₀, donc k = y₀– F(x₀).
Ainsi G est l'unique fonction définie sur I par x → F(x) + y₀– F(x₀).