La notion de limite de suite

On considère la suite  définie par .
Observons le comportement de u_n lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent près de 0 lorsque n tend vers +∞.
Comment expliquer cette accumulation ?

Donnons-nous un intervalle contenant 0, par exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les u_n rentrent dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation .

Tout d'abord, l'inégalité  est toujours vérifiée puisque  est toujours positif donc à fortiori plus grand qu'un nombre négatif.
Déterminons n tel que  soit .

La fonction inverse est décroissante sur  donc cela revient à dire que  soit .
Conclusion : à partir de , .

On démontre de même que pour tout intervalle ouvert I contenant 0, il existe un rang tel que pour tout n supérieur à ce rang, u_n soit dans I.

Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près de 0.
On dira que la suite  converge (tend) vers 0 ou la suite  a pour limite 0 lorsque n tend vers +∞.

On pourra écrire : .

• Les suites de terme général  avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞.
• Les suites de terme général  où tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞.

On considère la suite  définie par .
Observons de même le comportement de u_n lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque n tend vers +∞, mais alternativement au dessus, en dessous de 2.
La suite  est également une suite convergente et elle a pour limite 2.

On pourra écrire : .

Considérons la suite  définie par .

Observons le comportement de u_n lorsque n prend de grandes valeurs.

	0	1	10	50	100	1000	10 000	100 000
	–1	–0,9	9	249	999	99 999	9 999 999	999 999 999

Il semblerait que les termes de la suite  deviennent de plus en plus grand et tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.
Comment expliquer cette divergence vers +∞ ?

Il s'agit de prouver que l'on ne peut arrêter la progression des termes u_n et qu'ils finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il.

Prenons par exemple A = 10⁶. Existe-t-il un rang n₀ tel que pour , on ait  ?

Ainsi, à partir de u₁₀₁, les termes u_n sont supérieurs à 10⁶.

On démontre de même que ceci est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.
On dit alors que la suite  tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

On pourra écrire : .

• Les suites de terme général  avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.
• Les suites de terme général  avec  tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

Remarque
Lorsque les termes d'une suite  prennent des valeurs négatives mais de plus en plus grandes en valeurs absolues, on dit que la suite  tend vers –∞ lorsque n tend vers –∞. On pourra écrire : .

Exemples
 ou .

Considérons par exemple la suite  définie par .

Les termes de la suite sont alternativement positifs puis négatifs mais de plus en plus grands en valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas « canaliser » la direction des termes u_n.
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.

On ne pourra pas utiliser la notation  lorsque aucune limite n'existe pour la suite étudiée.