La limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Prolongement du travail réalisé sur les suites.
- Appropriation du concept de limite.
- Acquisition des techniques de base.
- On appelle « limite d'une fonction » la valeur que semble prendre cette fonction pour un réel, un intervalle, ou un signe à l'infini donnés ; cette valeur peut être un réel ou tendre vers +∞ ou –∞.
- Certaines fonctions communes, dites fonctions de référence, ont des limites connues :
| f(x) |
|
|
 |
0 | 0 |
|
x3 |
–∞ | +∞ |
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite L en +∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On notera :
.
Traduction graphique :
f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) =
.Démontrons que
.
Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 ; donc quel que soit x, f(x) > a.
< b et
x > 0
⇔ x2 > 
et x > 0
⇔ x
> 
et x > 0.
On en déduit que si x est assez grand
(dès que x
> 
) alors f(x) <
b.
Donc, si x
est assez grand, f(x) ∈ ]a ; b[,
ce qu'il fallait démontrer.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers –∞ » ou « f a pour limite L en –∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue. On notera :
.
f est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ par f(x) =
Démontrons que 
.
Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 donc quel que soit x, f(x) > a.
<
b et x < 0 ⇔ x2>
et x < 0
⇔
x <
et x < 0.
On en déduit que si x est assez grand en
valeur absolue et négatif (dès que
x <
) alors f(x) < b
donc si x
est assez grand en valeur absolue et négatif,
f(x) ∈ ]a ; b[,
ce qu'il fallait démontrer.
ou 
ou 
.
f est la fonction définie sur ]–∞ ; +∞[ par f(x) = x3.
Démontrons que
.
Soit A > 0 ;
f est
croissante sur 
donc si x
> 
, alors f(x) >
A.
On en déduit que si x est assez grand
(dès que x > 
), alors f(x) ∈ ]A ; +∞[,
ce qu'il fallait démontrer.
f est la fonction définie sur ]–∞ ; +∞[ par f(x) = x3.
Démontrons que 
.
Il faut démontrer que tout intervalle ]–∞ ; –B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue.
Soit B > 0 ;
f est
croissante sur 
donc si x < 
, alors f(x) < –B.
On en déduit que si x est négatif
et assez grand en valeur absolue (dès que
x > 
) alors f(x) ∈ ]–∞ ; –B[,
ce qu'il fallait démontrer.
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