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La limite d'une suite

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Objectifs

Établir la convergence d’une suite vers +∞ ou –∞.
Établir la divergence d’une suite vers +∞ ou –∞.

Points clés

Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l’infini ou si elle n’a pas de limite.
Une suite (u_n) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I. On note .
Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.

Pour bien comprendre

Connaitre la notion de suite.

1. Notion de suite convergente

a. Exemple : accumulation vers un réel

On considère la suite définie par pour tout n > 0.
Observons le comportement de lorsque prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe

Côté tableau de valeurs

	1	10	50	100	1000	10 000	100 000	1 000 000
	1	0,32	0,14	0,1	0,03	0,0100000	0,0031623	0,0010000

Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent près de 0 lorsque tend vers , c'est-à-dire que la suite tend vers 0.
On peut noter .

Comment expliquer cette accumulation et cette tendance ?

Donnons-nous un intervalle contenant 0, par exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les rentrent dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation .

Tout d'abord, l'inégalité est toujours vérifiée puisque est toujours positif donc a fortiori plus grand qu'un nombre négatif.
Déterminons tel que soit .
La fonction inverse est décroissante sur , donc cela revient à dire que soit .
Conclusion : à partir de , , c'est-à-dire, pour tout entier n > 1000, .

Prenons en général un intervalle quelconque centré en 0, soit , avec a un nombre réel positif, et cherchons un rang p tel que, à partir de ce rang, tous les termes de cette suite rentrent dans cet intervalle.

En effet, u_n ∈ I est équivalent à , soit .
est positif, donc il est plus grand que –a qui est négatif, donc on résout l'équation .

On a démontré que, pour tout intervalle I centré en 0, il existe un rang tel que, pour tout supérieur à ce rang, soit dans I.

Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près de 0.
On dira que la suite converge (tend) vers 0 ou que la suite a pour limite 0 lorsque tend vers .

On pourra écrire .

b. Définition

Soit

une suite de nombres réels.
Une suite

est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
On note

Exemple
On considère la suite

définie par

pour tout n entier naturel non nul.
Observons le comportement de

lorsque

prend de très grandes valeurs positives.

Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque

tend vers

, mais alternativement au-dessus et en dessous de 2.
La suite

semble être une suite convergente qui a pour limite 2.
Démontrons que cette suite est bien convergente vers 2.

Soit I un intervalle quelconque centré en 2, c’est-à-dire I = ]2 – a ; 2 + a[ avec a un nombre réel positif. Cherchons à partir de quel rang tous les termes de la suite appartiennent à I.
En effet, u_n ∈ I ⟺ 2 – a < u_n < 2 + a.
On procède par équivalences :

Donc, à partir du rang n (qui est supérieur à n), tous les termes de la suite appartiennent à I, donc la suite converge vers 2.

c. Quelques suites convergentes de référence

Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .

Les suites de terme général , avec –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .

2. Notion de suite divergente

a. Définition

Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente.
Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.

b. Premier exemple : une suite tendant vers l'infini

Exemple
Considérons la suite

définie par

.
Observons le comportement de

lorsque

prend de grandes valeurs.

Côté courbe

Côté tableau de valeurs

	0	1	10	50	100	1000	10 000	100 000
	–1	–0,9	9	249	999	99 999	9 999 999	999 999 999

Il semblerait que les termes de la suite

deviennent de plus en plus grands et tendent vers

lorsque

tend vers

.
Comment expliquer cette divergence vers

?
Prenons par exemple A = 10⁶. Existe-t-il un rang

tel que pour

, on ait

Ainsi, à partir de

, les termes

sont supérieurs à 10⁶.
On démontre de même que cela est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.
On dit alors que la suite

tend vers

lorsque

tend vers

.
On pourra écrire :

On dit qu’une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
On dit qu’une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.

Exemple
Reprenons la suite de l’exemple précédent :

.
Montrons que cette suite est divergente et tend vers + ∞.
Soit A un nombre réel quelconque, on cherche à partir de quel rang les termes sont supérieurs à A.

Si A + 1 est négatif, n² est positif, donc l’inégalité est vraie pour tous les entiers.
Donc tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Si A + 1 est positif :

.
Donc, à partir du rang qui est juste supérieur à

, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.

c. Second exemple : une suite qui n'admet pas de limite

Exemple
Considérons par exemple la suite

définie par

Côté courbe

Les termes de la suite sont alternativement positifs puis négatifs mais de plus en plus grands en valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas « canaliser » la direction des termes

.
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.

Remarque
On ne pourra pas utiliser la notation

lorsque aucune limite n'existe pour la suite étudiée.

d. Quelques suites divergentes de référence

Les suites de terme général ; n ; n² ; … ; n^p, avec p entier supérieur ou égal à 1, tendent vers lorsque n tend vers .

Les suites de terme général avec tendent vers lorsque tend vers .

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