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La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions, dérivée

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Objectifs

Introduire une nouvelle fonction usuelle, à savoir la fonction logarithme népérien.
Donner les premières propriétés de cette fonction.

Points clés

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : e^t = x. L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : e^ln(x) = x.
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes.
- Si x > 0, alors x = e^t t = ln(x)
- ln(e^x) = x
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Relation fonctionnelle : pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
et .
Pour tout entier relatif n, on a et .
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité .

Pour bien comprendre

Connaitre la fonction exponentielle.
Maitriser le théorème des valeurs intermédiaires.

1. Définition et propriétés immédiates

Préambule
Conformément à l’esprit du programme officiel, on se place dans le cas où l’on connait déjà la fonction exponentielle, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.

La fonction exponentielle est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur .

Ses limites aux infinis sont : et .
Donc l’ensemble image de par exp est l’intervalle .

D’après l’un des corollaires du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réel λ strictement positif, il existe un unique réel t tel que e^t = λ.

Le réel t, solution unique de l’équation e^t = λ sera appelé le logarithme népérien de λ et noté ln(λ).

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur

qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : e^t = x.
L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : e^ln(x) = x.

Remarque immédiate (et évidente)
La fonction ln est liée de par sa définition à la fonction exp.

Propriété 1 (conséquence de la définition)
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = e^t

t = ln(x)
• (P2) : ln(e^x) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Démonstration

• (P1) n’est qu’une autre traduction de la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel. e^x > 0, on peut alors poser t = ln(e^x).
t = ln(e^x) e^x = e^t, d’après (P1) et e^x = e^t x = t.
• Pour (P3) : e⁰ = 1, donc ln(1) = 0 et e¹ = e donc ln(e) = 1.

2. Propriétés

Propriété 2 : relation fonctionnelle
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).

Démonstration

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
a × b > 0, donc on peut poser : P = ln(a × b) et S = ln(a) + ln(b).

On a e^P = a × b et e^S = e^{ln(a) + ln(b)} = e^ln(a) × e^ln(b) = a × b, donc e^P = e^S, soit P = S.

Remarque
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.

Propriété 3
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) :

Démonstration

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.

• Pour (P1) : , donc ;
or, ln(1) = 0, donc (P1) est vraie.

• Pour (P2), on utilise .

• Pour (P3), on utilise un raisonnement par récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour n entier naturel.
Pour n entier non naturel (n < 0), on a :

.

• Pour (P4) : , donc .

Propriété 4
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur

et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité :

On admet ici la continuité et la dérivabilité de ln ; on démontre la formule.
Soit x un réel tel que x > 0.

On a :
e^ln(x) = x ; or ln est dérivable sur , donc x → e^ln(x) l’est aussi, donc (e^ln(x))’ = (x)’,
soit (ln x)’ × e^ln^x = 1, ou encore (ln x)’ × x = 1.

Finalement .

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