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La fonction exponentielle : variations et limites

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Objectif(s)

• Étudier la fonction exponentielle.
• Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées (FI).
• Donner le complément de dérivation concernant exp.

1. Variation de exp

Théorème 1
La fonction exponentielle est strictement croissante sur

► Démonstration
On sait que exp est dérivable sur

donc il suffit de démontrer que pour tout réel x, (e^x)’ > 0.
Or pour tout réel x, (e^x) ’ = e^x et e^x > 0, donc (e^x)’ > 0.

Théorème 2
Pour tout couple (a ; b) de réels on dispose des propositions suivantes :

(P1):

(P2):

► Démonstration
On prend en exemple uniquement (P1) car (P2) se démontre avec le même raisonnement.

Pour démontrer (P1), on doit démontrer deux propositions, la proposition (R) :

et la proposition (Q) : (

).

La proposition (R) est bien sûr évidente !

Pour démontrer la proposition réciproque (Q), il faut raisonner par l’absurde.
On suppose vraie la proposition (NON Q) et on cherche une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse.

Or (NON Q)

(e^a = e^b ET (NON( a = b))

(e^a = e^b ET (( a < b) OU (a > b)))

On a donc :
(( a < b) OU (a > b))

(e^a < e^b OU e^a > e^b) puisque exp est strictement croissante.
(e^a < e^b OU e^a > e^b)

(e^a = e^b) est fausse.

Ainsi, de part (NON Q), (e^a = e^b) est vraie, mais elle est fausse de part la démonstration ; elle serait donc contradictoire, ce qui est impossible.

La proposition (NON Q) est donc fausse, et (Q) est vraie.

2. Limites à l'infini

Pour démontrer le théorème 3, on a besoin d’un « petit » résultat que l’on appelle usuellement un lemme.

Lemme
Pour tout réel x, on dispose de l’inégalité e^x > x.

► Démonstration
Pour tout réel x, on pose d(x) = e^x – x.
Les fonctions x → e^x et x → -x sont dérivables sur

donc d l’est aussi (comme somme).

On a : d’(x) = e^x – 1.
d’(x) = 0

e^x = 1 = e⁰

x = 0 d’après le th. 2 ;
d’(x) > 0

e^x > 1

e^x > e⁰

x > 0 d’après le th. 2 ;
d’(x) < 0

x < 0.

Ainsi, on a :

Or, d(0) = e⁰ – 0 = 1 – 0 = 1.
Donc pour tout réel x, d(x) ≥ 1 et donc d(x) > 0, doit e^x > x.

Théorème 3
On dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

;

• (P2) :

► Démonstration

• Pour démontrer (P1), on applique le lemme et un théorème de comparaison sur les limites de fonctions.
On a : pour tout réel x, e^x > x et

, donc

.

• Pour démontrer (P2), on utilise des propriétés de exp et le théorème de la limite d’une fonction composée.
On a : e^x = e^-(-x) =

.

Or, quand :

. On pose X = -x.

On a :

; or

d’après (P1), donc

.

Remarque

croît très, très rapidement vers l’infini.
Pour vous en convaincre, si vous tapez e¹⁰ sur votre calculatrice, vous obtiendrez environ 22026.
Avec comme unité le centimètre, cela signifie que lorsque l’on se « déplace » vers les positifs sur l’axe des abscisses de 10 cm, on doit « monter » de 220 mètres pour être dans la « zone » de e¹⁰.

► Courbe représentative de la fonction

Remarque
La tangente à C_exp au point d’abscisse 1 passe par l’origine et son équation réduite est : y =e × x, à ne pas confondre avec e^x.

En effet, on a pour cette tangente : y = exp’(1)×(x – 1) + exp(1).

Or, exp’ = exp, donc y = e¹(x – 1) + e¹ = e × x – e + e = e × x.

3. Compléments

Théorème 4
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) :

.

• (P2) :

.

• (P3) :

► On ne démontre ici que (P1)
On sait que exp est dérivable sur donc en 0 ; on applique donc la définition vue en 1S du nombre dérivé de exp en 0, à savoir :

;

soit exp’(0) = exp(0) = 1, donc on a bien (P1).

Remarque
Pour (P2) et (P3), il suffit de reprendre la remarque précédente et de comprendre la rapidité de divergence vers l’infini de e^x. Ainsi, en x = 10 on a :

.

Par ailleurs, on a démontré en lemme que pour tout réel x, e^x > x. Nous vous laissons dessiner dans un même repère C_exp et la droite y = x pour visualiser ce « phénomène ».

Théorème 5 : complément de dérivation pour x → e^u(x).
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction x → e^u(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, on dispose de l’égalité :
(e^u(x))’ = u’(x).e^u(x).

Remarques :
• À notre niveau ce théorème est admis et ne sera donc pas démontré, toutefois nous l’illustrons ci-dessous par un exemple.

Exemple

Cas particulier : pour tout réel x (e^{ax +
b})’ = a × e^{ax + b}.

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