La fonction exponentielle : théorèmes et définitions

Avant de définir la fonction exponentielle, on a besoin d’un « petit » théorème que l’on appelle généralement un lemme.


► Démonstration
On doit démontrer pour tout réel x, f(x) ≠ 0, sachant que l’on dispose des propositions :
(f est dérivable sur ) et (sur , f ’ = f) et (f(0) = 1).

Le raisonnement pour y parvenir est vraiment très particulier.

En effet, on va poser pour tout réel x, et l’on va démontrer que , autrement dit que le produit de f(x) par f(-x) n’est pas nul, donc f(x) ≠ 0.

f est dérivable sur donc d’après le préambule, x → f(-x) l’est aussi ; est donc dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables.

Pour tout réel x, on a : .

Or, ici pour tout réel t, f ’(t) = f(t), donc f ’(x) = f(x) et f ’(-x) = f(-x),

donc .

Si , alors nécessairement , où C est une constante réelle.
Mais f(0) = 1, donc et ainsi .

On a bien pour tout réel x, f(x) × f(-x) = 1 et donc f(x) ≠ 0.


Conformément au programme, l’existence d’une telle fonction est admise mais l’on démontre l’unicité.
Pour cela, on utilise un raisonnement par l’absurde.

On doit démontrer que la proposition P : (exp est unique) est vraie.
On suppose que (NON P) est vraie, c’est-à-dire que (exp n’est pas unique), c’est-à-dire qu’il existe une fonction g définie et dérivable sur telle que :
pour tout réel x, g’(x) = g(x) et g(0) = 1 et g ≠ exp.

On cherche alors une proposition contradictoire, c’est à-dire à la fois vraie et fausse.
Soit x un réel.
On a :
g est dérivable sur (comme dans le lemme) et on montre (toujours comme dans le lemme) que g(x) × g(-x) = 1 donc que g(x) ≠ 0.

On pose : .

Q est dérivable sur et ,

puisque exp’ = exp et g’ = g.
Donc Q’(x) = 0 et donc Q(x) = C où C est une constante.

Mais , donc C = 1 et g(x) = exp(x) et ainsi g ≠ exp est une proposition fausse.

Finalement la proposition (g ≠ exp) est à la fois vraie et fausse, elle est donc contradictoire, ce qui est impossible. La proposition (NON P) supposée vraie est donc fausse, c’est-à-dire que la proposition P est vraie.


La démonstration est une conséquence de la proposition : pour tout réel x, exp(x).exp(-x) = 1.

► Démonstration
Soit b un réel fixe. On sait alors que : exp(b) ≠ 0.

On pose pour tout réel x, on pose .

x → exp(x + b) est dérivable sur (préambule) donc P l’est aussi (théorème opératoire du quotient).

,

puisque exp’ = exp.

Ainsi P’(x) = 0, donc P(x) = C, où C est une constante.

Or, , donc C = exp(b).

Ainsi, P(x) = exp(b), soit , ou encore exp(x + b) = exp(x) × exp(b).

Pour x = a, on a bien exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

Remarque
On dit que la fonction exp transforme les produits en sommes.


► Démonstration
Soit x un réel.
On a :
,

puisqu’un carré est toujours positif ou nul et que pour tout réel t exp(t) ≠ 0.


► Démonstration
• Pour (P1), on a : .

• Pour (P2) : la démonstration du cas n est un entier naturel, se démontre à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que l’on ne fait pas ici.

Pour le cas où n est un entier non naturel (donc négatif), on a :

; or n < 0, donc –n est un entier naturel.

On a donc : exp(-na) = exp(a)^-n.

, d’après une propriété usuelle sur les puissances entières.


► Une nouvelle notation
L’image du nombre 1 par la fonction exponentielle, à savoir le nombre exp(1), se note plus simplement e.
2,718 est une valeur approchée de e.
Cette notation est due au formidable mathématicien suisse Leonard EULER.

Ainsi, pour tout entier relatif n, exp(n) = exp(n×1) = (exp(1))ⁿ = (e)ⁿ = eⁿ.
Cette notation pour les entiers relatifs se généralise pour tous les réels x.

Ainsi pour tout réel x et pour tout couple (a ; b) de réels, on dispose des propositions suivantes :

• (e^x)’ = e^x et e⁰ = 1

•

• e^x > 0

• e^{a + b} = e^a × e^b

•

• Pour tout entier relatif n, e^na = (e^a)ⁿ.