Fiche de cours

La fonction exponentielle : définition et propriétés

Lycée > Premiere > Mathématiques > La fonction exponentielle : définition et propriétés

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Connaitre la définition et la notation de la fonction exponentielle.
S’approprier les propriétés calculatoires et algébriques de la fonction exponentielle.
Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Étudier le signe de e^x.

Points clés

La fonction exponentielle est la seule fonction telle que et
La fonction exponentielle se note et se note
Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle :
Propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
e^x est strictement positif pour tout réel x.

Pour bien comprendre

Notion de dérivée
Dérivée d’une fonction constante
Si est une fonction dérivable de dérivée et et deux nombres réels alors la fonction définie par est dérivable et .
Opérations sur les puissances d’exposants des entiers naturels
Valeur exacte d’un nombre réel

1. Définition

Il existe une seule fonction dérivable

sur

telle que :

où est la dérivée de sur

On appelle cette fonction la fonction exponentielle et on la note

On note le nombre par .

D'où :

donc (l'expression ne change pas par dérivation)
donc

Exemple :
Soit

la fonction définie par

alors

2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle

Soit et deux ombres réels. On a pour la fonction exponentielle la relation fonctionnelle suivante :

On dit que la fonction exponentielle « transforme les sommes en produits ».

Preuve :
On admet que si est une fonction dérivable de dérivée et et deux nombres réels alors la fonction définie par est dérivable et .
Soit et deux nombres réels et la fonction définie sur par .
est de la forme avec :

donc

Donc est une constante.
Donc

3. Propriétés algébriques

Soit et deux nombres réels et un nombre entier naturel. On a les propriétés algébriques suivantes :

Exemple

Ces propriétés algébriques peuvent être mémorisées en pensant aux propriétés des puissances et elles se démontrent en utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle .

Preuves :

(n facteurs)
(somme de n termes de a)

4. Le nombre e

Le nombre e est un nombre réel défini par e¹ = e.

La notation e est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur approchée est

Remarque : par combinaison, les valeurs eⁿ sont aussi des valeurs exactes.

Exemple
Montrons que

.
On a

donc

Exemple
Résoudre dans

l'équation

.
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,01 près.

5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x

pour tout

Preuve :

S'il existe un nombre réel x tel que alors , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0. Donc il n'existe aucun réel x tel que (cette démonstration est une démonstration par l'absurde).
donc est un carré, donc est positif.

D'où .

Évalue ce cours !

Note 3 / 5. Nombre de vote(s) : 35

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT